2022-上海卷-03 填-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式，以及周期性。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 函数 $f(x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+1$ 的周期为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 化简解析式：利用三角恒等变换公式（如二倍角公式或同角三角函数基本关系）对原函数式进行化简，将其转化为 $y=A\cos (\omega x+\varphi )+B$ 的形式。

2. 套用周期公式：根据正余弦函数的周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，代入化简后得到的 $\omega$ 值即可求得函数的最小正周期。

✅【答案】

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$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

解析过程：

解法一（直接利用二倍角公式）：

已知函数解析式为：

$f(x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+1$

根据余弦的二倍角公式 $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$，直接替换原式的前两项，可得：

$f(x)=\cos 2x+1$

此时函数为标准的余弦型函数，其中角频率 $\omega =2$。

根据周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，可得该函数的最小正周期为：

$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$

解法二（利用同角基本关系展开）：

将常数 $1$ 替换为 ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x$，代入原式得：

$f(x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)$

合并同类项：

$f(x)=2{\cos }^{2}x$

再利用降幂公式（或余弦二倍角公式的变形 $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$），得到：

$f(x)=\cos 2x+1$

同理，根据周期公式可得周期：

$T=\frac{2\pi }{2}=\pi$

故答案为：$\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式/概念：

  • 同角三角函数基本关系：${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$。

  • 余弦二倍角公式：$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x$。

  • 周期公式：对于函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 或 $y=A\cos (\omega x+\varphi )$，其最小正周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。

• 试题评价：本题主要考查了三角函数的恒等变换、三角函数的周期性及其求法、倍角公式的应用，属于基础题，意在考查学生对基础公式的熟练度。

• 易错提醒：在化简过程中，要熟练掌握二倍角公式及其变形式。求周期时注意认准 $\omega$ 的值，切勿直接用原式平方项中的 $x$ 的系数（即 1）去盲目套用 $2\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-01 填-二倍角公式
• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象
• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换