2022-上海卷-09 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及分类加法与分步乘法。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 为了检测学生的身体素质指标，从游泳类 $1$ 项，球类 $3$ 项，田径类 $4$ 项共 $8$ 项项目中随机抽取 $4$ 项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

本题属于古典概型求概率的问题。

1. 确定基本事件总数：从总共 $8$ 个项目中无放回地随机抽取 $4$ 项，属于简单的组合问题，总数为 ${\mathrm{C}}_8^4$。

2. 确定符合条件的事件数：要求“每一类都被抽到”。一共抽取 $4$ 项，但只有 $3$ 个类别（游泳、球类、田径）。根据抽屉原理，必然有且仅有一个类别被抽取了 $2$ 项，其余两个类别各被抽取 $1$ 项。

   • 因为“游泳类”只有 $1$ 项，所以不可能被抽取 $2$ 项。

   • 因此，被抽取 $2$ 项的类别只能是“球类”或者“田径类”。这就自然地引导我们分为两类情况进行讨论。

3. 计算概率：利用古典概型公式 $P=\frac{m}{n}$ 即可求得结果。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{3}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求基本事件总数（分母）

从 $8$ 项项目中随机抽取 $4$ 项，不考虑顺序，所有的抽取方法总数为：

$n={\mathrm{C}}_8^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70$ 种。

第二步：求符合条件的事件数（分子）

要使每一类都被抽到，即游泳类、球类、田径类都有项目入选。由于共抽取 $4$ 项，分布在 $3$ 个类别中，必定是“$1+1+2$”的模式。

又因为游泳类总共只有 $1$ 项，所以游泳类只能被抽中 $1$ 项。

因此，具体的抽取构成只有以下两种情况：

• 情况一：游泳类 $1$ 项，球类 $1$ 项，田径类 $2$ 项。

  抽取方法数为：$m_1={\mathrm{C}}_1^1\cdot {\mathrm{C}}_3^1\cdot {\mathrm{C}}_4^2=1\times 3\times 6=18$ 种。

• 情况二：游泳类 $1$ 项，球类 $2$ 项，田径类 $1$ 项。

  抽取方法数为：$m_2={\mathrm{C}}_1^1\cdot {\mathrm{C}}_3^2\cdot {\mathrm{C}}_4^1=1\times 3\times 4=12$ 种。

根据分类加法计数原理，每一类都被抽到的方法总数为：

$m=m_1+m_2=18+12=30$ 种。

第三步：计算概率

根据古典概型概率计算公式，每一类都被抽到的概率为：

$P=\frac{m}{n}=\frac{30}{70}=\frac{3}{7}$。

故答案为：$\frac{3}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心规律/公式：

  1. 组合数公式：${\mathrm{C}}_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$。

  2. 古典概型公式：$P(A)=\frac{\text{事件A包含的基本事件个数}}{\text{基本事件总数}}$。

  3. 两个基本计数原理：分类相加，分步相乘。本题中“先选游泳、再选球类、最后选田径”是分步（乘法）；“选2项球类还是选2项田径”是分类（加法）。

• 试题评价：本题主要考查古典概型及其计算公式的应用，结合了排列组合的基础知识。题目背景贴近生活，逻辑清晰，属于高考中的送分基础题。

• 解题技巧：在处理“分为若干类，总抽取数大于类别数”的问题时，优先思考数量分配模式（如本题的 $1+1+2$），然后结合各类的实际总数剔除不可能的情况（游泳不可能取 $2$），这样可以快速且不重不漏地完成分类讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-18 解-卡片抽取概率
• 2008-江西卷文-11 单-古典概型计数
• 2009-江苏卷-05 填-古典概型