2022-上海卷-11 填-平面向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及平面向量的坐标表示与运算。

📌【题干】

Question

（2022年上海卷） 已知 $\lambda >0$，且 $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=\lambda$，并且 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=2$，$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b}=1$，则 $\lambda =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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本题有两种解题思路：

思路一（坐标法/建系法，强烈推荐）：题目给出 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，这意味着向量 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 互相垂直。在平面向量问题中，遇到互相垂直的向量，第一反应应是建立直角坐标系。以 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的方向分别为 $x$ 轴、$y$ 轴建立坐标系，设出它们的坐标，再利用未知向量 $\overrightarrow{c}$ 与它们的数量积求出 $\overrightarrow{c}$ 的坐标，最后利用模长公式求解。

思路二（定义法/夹角关系，原解析思路）：利用数量积的定义 $\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}=|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|\cos ⟨\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}⟩$。设 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{c}$ 的夹角为 $\theta$，因为 $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$，可以推导出 $\overrightarrow{b}$ 与 $\overrightarrow{c}$ 的夹角为 $\frac{\pi }{2}-\theta$。通过联立方程组利用三角函数同角关系求解。

✅【答案】

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$\sqrt[4]{5}$ （或写作 $5^{\frac{1}{4}}$）

✍【详细解析】

Abstract

解法一：坐标建系法（通性通法）

因为 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，所以 $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$。

我们可以以向量 $\overrightarrow{a}$ 所在直线为 $x$ 轴，以向量 $\overrightarrow{b}$ 所在直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系。

由于 $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=\lambda$，且 $\lambda >0$，我们可以合理地设定它们的坐标为：

$\overrightarrow{a}=(\lambda ,0)$

$\overrightarrow{b}=(0,\lambda )$

设向量 $\overrightarrow{c}=(x,y)$。

根据题意已知两个数量积条件：

1. $\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=(\lambda )(x)+(0)(y)=\lambda x=2$，解得 $x=\frac{2}{\lambda }$。

2. $\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b}=(0)(x)+(\lambda )(y)=\lambda y=1$，解得 $y=\frac{1}{\lambda }$。

   因此，向量 $\overrightarrow{c}$ 的坐标为 $\left(\frac{2}{\lambda },\frac{1}{\lambda }\right)$。

又因为 $|\overrightarrow{c}|=\lambda$，根据向量模的坐标公式可得：

$|\overrightarrow{c}{|}^2=x^2+y^2={\lambda }^2$

将求得的 $x,y$ 代入：

${\left(\frac{2}{\lambda }\right)}^2+{\left(\frac{1}{\lambda }\right)}^2={\lambda }^2$

$\frac{4}{{\lambda }^2}+\frac{1}{{\lambda }^2}={\lambda }^2$

$\frac{5}{{\lambda }^2}={\lambda }^2$

由此解得：${\lambda }^4=5$。

因为 $\lambda >0$，所以 $\lambda =\sqrt[4]{5}$。

解法二：几何定义法（原解析方法）

因为 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$，所以 $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$。

设向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{c}$ 的夹角为 $⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}⟩=\theta$。

由于 $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$，在同一平面内，向量 $\overrightarrow{b}$ 与 $\overrightarrow{c}$ 的夹角即为 $\frac{\pi }{2}-\theta$ （或者 $\frac{\pi }{2}+\theta$，但由于 $\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}>0$ 且 $\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b}>0$，说明 $\overrightarrow{c}$ 落在 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 夹角的内部第一象限，故夹角和为 $\frac{\pi }{2}$）。

根据数量积定义：

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|\cos \theta =2\\ \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=1\end{array}$

将 $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=\lambda$ 代入：

$\{\begin{array}{l}{\lambda }^2\cos \theta =2\cdots \text{(1)}\\ {\lambda }^2\sin \theta =1\cdots \text{(2)}\end{array}$

由 $\text{(2)}÷\text{(1)}$ 得：$\tan \theta =\frac{1}{2}$。

在直角三角形中，若对边为 $1$，邻边为 $2$，则斜边为 $\sqrt{5}$。

且由方程可知 $\cos \theta >0,\sin \theta >0$，所以 $\theta$ 为锐角，故 $\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

将 $\cos \theta$ 的值代回式 ①：

${\lambda }^2\cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}=2$

${\lambda }^2=\frac{10}{2\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

因为 $\lambda >0$，所以 $\lambda =(\sqrt{5}{)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt[4]{5}$。

故答案为：$\sqrt[4]{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心规律/公式：

  1. 数量积的定义：$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$。

  2. 数量积的坐标运算：若 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$，则 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。

  3. 模的坐标公式：$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$。

• 解题技巧（重点）：“遇垂直，思建系”。在平面向量的计算中，如果已知条件中存在两个相互垂直的非零向量，以它们为基底建立直角坐标系，将“几何关系”转化为纯粹的“代数坐标运算”，可以有效避开复杂的夹角讨论，是高考中非常实用的“简化处理”手段。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算