2022-乙卷文-10 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的前 $n$ 项和，以及等比数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷文） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $3$ 项和为 $168$，$a_2-a_5=42$，则 $a_6=$ () A. $14$　　　　　　　B. $12$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 根据等比数列的前3项和公式和通项公式列出关于首项 $a_1$ 和公比 $q$ 的方程组。
2. 将两式相比消去 $a_1$，解出公比 $q$。
3. 求出 $a_1$ 后计算 $a_6$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$。 由 $S_3=168$，得 $a_1(1+q+q^2)=168$。 由 $a_2-a_5=42$，得 $a_{1}q-a_1{q}^4=a_{1}q(1-q^3)=42$。 两式相比：$\frac{a_{1}q(1-q)(1+q+q^2)}{a_1(1+q+q^2)}=q(1-q)=\frac{42}{168}=\frac{1}{4}$。 整理得 $4q^2-4q+1=(2q-1{)}^2=0$，解得 $q=\frac{1}{2}$。 代入 $S_3$ 得 $a_1(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=\frac{7}{4}{a}_1=168$，解得 $a_1=96$。 则 $a_6=a_1{q}^5=96\times (\frac{1}{2}{)}^5=96\times \frac{1}{32}=3$。 选 (D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项与求和公式。
2. 核心方法：方程组消元法。
3. 避坑指南：利用因式分解化简方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：数列综合计算题。
2. 结论推广：等比数列中 $S_n$ 与 $a_n$ 的比例关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项
• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-大纲卷理-06 单-等比数列定义与公比