2022-乙卷理-05 单-抛物线焦点弦

本题导读

本题考查标准方程与焦点，以及焦半径公式。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 设 $F$ 为抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，点 $B(3,0)$，若 $|AF|=|BF|$，则 $|AB|=($\quad\quad$)$

A. $2$　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $3\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 求焦点与定长：根据抛物线标准方程求出焦点 $F$ 的坐标。利用定点 $B(3,0)$ 计算出焦半径 $|AF|=|BF|$ 的具体数值。

2. 方法一（代数定义法）：利用抛物线的焦半径公式 $|AF|=x_A+\frac{p}{2}$，求出点 $A$ 的横坐标 $x_A$，再代入抛物线方程求出 $y_A$。最后用两点间距离公式求 $|AB|$。

3. 方法二（通径几何法）：观察算出的焦半径长度，发现它恰好等于参数 $p$（即半通径的长）。这说明 $AF$ 垂直于 $x$ 轴，从而 $△AFB$ 是一个直角三角形，直接利用勾股定理即可快速求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 计算焦点与 $|BF|$ 的长度：

已知抛物线 $C:y^2=4x$，则 $2p=4⟹p=2$．

其焦点坐标为 $F(1,0)$．

已知点 $B(3,0)$，由于 $F,B$ 均在 $x$ 轴上，它们之间的距离为：

$|BF|=3-1=2$

根据已知条件 $|AF|=|BF|$，可得：

$|AF|=2$

方法一：代数定义法（通法）

1. 根据抛物线的焦半径公式，点 $A(x_A,y_A)$ 到焦点 $F$ 的距离为：

   $|AF|=x_A+\frac{p}{2}=x_A+1$

2. 已知 $|AF|=2$，所以 $x_A+1=2⟹x_A=1$．

3. 将 $x_A=1$ 代入抛物线方程 $y^2=4x$，得 $y_A^2=4⟹y_A=\pm 2$．

   不妨设 $A$ 在第一象限，即 $A(1,2)$（若在第四象限，根据对称性求得的距离相同）．

4. 根据两点间距离公式，计算 $|AB|$：

   $|AB|=\sqrt{(3-1{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

   ．

方法二：通径几何法（巧解）

1. 由前面计算知，焦半径 $|AF|=2$。

2. 注意到抛物线 $y^2=4x$ 的参数 $p=2$。半通径（过焦点且垂直于对称轴的弦的一半）的长度恰好等于 $p$，即 $2$。

3. 因为 $|AF|=2=p$，这说明点 $A$ 恰好是通径的一个端点！

   因此，线段 $AF$ 必然垂直于 $x$ 轴（抛物线的对称轴），即 $AF\perp FB$。

4. 在直角 $△AFB$ 中，$\angle AFB=90^{\circ }$，且 $|AF|=2,|FB|=2$。

   这说明 $△AFB$ 是一个等腰直角三角形。

   根据勾股定理，斜边 $|AB|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$．

结论：

对应选项 B 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 焦半径公式：$|AF|=x_A+\frac{p}{2}$ 是解决抛物线上点到焦点距离问题的第一选择，它免去了复杂的根式运算。

  2. 通径的敏感度：通径是抛物线中最特殊的一条焦点弦，其总长为 $2p$，半长为 $p$。当发现焦半径等于 $p$ 时，应立刻联想到 $A$ 位于焦点正上方或正下方，从而利用直角三角形的几何性质快速解题。

• 避坑指南：虽然点 $A$ 有上下两个位置 $(1,2)$ 和 $(1,-2)$，但由于点 $B$ 在对称轴上，所以 $△AFB$ 总是全等的，算出其中一个距离即可，不必纠结其确切象限。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性
• 2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值
• 2013-北京卷理-07 单-抛物线方程