2022-乙卷理-08 单-等比数列

本题导读

本题考查基本性质，以及通项公式。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $3$ 项和为 $168$，$a_2-a_5=42$，则 $a_6=$ ()

A. $14$　　　　　　　B. $12$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 明确基本量：设等比数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$。由题设条件可知 $q\ne 0$ 且 $q\ne 1$。

2. 转化已知条件：

   • 将“前 3 项和为 168”转化为关于 $a_1$ 和 $q$ 的求和公式或多项式展开。

   • 将“$a_2-a_5=42$”转化为 $a_{1}q-a_1{q}^4=42$，并提取公因式。

3. 方程组消元求解：将两个等式作商，巧妙消去 $a_1$（或利用立方差公式消去 $1-q^3$），解出一个关于 $q$ 的一元二次方程，求出 $q$。

4. 回代求目标项：求出 $q$ 和 $a_1$（或直接利用 $a_2$），代入 $a_6$ 的表达式得出最终结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。由题意显然 $q\ne 0$ 且 $q\ne 1$。

方法一：标准基本量法（$a_1,q$ 为基准）

1. 列出基本方程组：

   已知前 3 项和 $S_3=168$，由等比数列求和公式得：

   $\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}=168\text{(1)}$

   已知 $a_2-a_5=42$，展开得：

   $a_{1}q-a_1{q}^4=a_{1}q(1-q^3)=42\text{(2)}$

2. 整体作商消元：

   将 ②式 除以 ①式，得：

   $\frac{a_{1}q(1-q^3)}{\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}}=\frac{42}{168}$

   化简左侧，约去 $a_1(1-q^3)$，得：

   $q(1-q)=\frac{1}{4}$

3. 解得公比 $q$：

   展开整理为一元二次方程：

   $q-q^2=\frac{1}{4}⟹4q^2-4q+1=0$

   即 $(2q-1{)}^2=0$，解得 $q=\frac{1}{2}$．

4. 求首项与目标项：

   将 $q=\frac{1}{2}$ 代入 ②式：

   $a_1\times \frac{1}{2}\times \left(1-\frac{1}{8}\right)=42⟹a_1\times \frac{1}{2}\times \frac{7}{8}=42⟹a_1=96$

   求第 6 项 $a_6$：

   $a_6=a_1\cdot q^5=96\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^5=96\times \frac{1}{32}=3$

方法二：不同基础量代换法（以 $a_2$ 为基准）

1. 转化已知条件：

   前 3 项和 $S_3=a_1+a_2+a_3=\frac{a_2}{q}+a_2+a_{2}q=\frac{a_2(1+q+q^2)}{q}=168$ ③．

   $a_2-a_5=a_2-a_2{q}^3=a_2(1-q^3)=42$ ④．

2. 利用立方差公式作商：

   注意到 $1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$，代入 ④式 得：

   $a_2(1-q)(1+q+q^2)=42$．

   将其与 ③式 作商：

   $\frac{a_2(1-q)(1+q+q^2)}{\frac{a_2(1+q+q^2)}{q}}=\frac{42}{168}$

   化简同样得到 $q(1-q)=\frac{1}{4}$，解得 $q=\frac{1}{2}$．

3. 求目标项：

   将 $q=\frac{1}{2}$ 代入 ④式 得 $a_2(1-\frac{1}{8})=42⟹a_2\times \frac{7}{8}=42⟹a_2=48$．

   $a_6=a_2\cdot q^4=48\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^4=48\times \frac{1}{16}=3$

   ．

结论：

对应选项 D 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：在等比数列的计算中，“整体作商法” 是消元的最高效手段。遇到高次项时，熟练运用立方差公式 $1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$ 能够让多项式的约分化简如丝般顺滑。

• 规律总结：由于题目中 $a_2-a_5>0$ 且前三项和为正，暗示该等比数列各项为正且单调递减，故 $0<q<1$。方程 $q(1-q)=1/4$ 恰好给出了唯一的 $q=1/2$。

• 避坑指南：在代入 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 时，注意 $a_6$ 对应的是 $q^5$，而不是 $q^6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-江西卷理-03 单-等比中项
• 2008-江苏卷-19 解-数列删项等比