2022-乙卷理-15 填-三角函数零点

本题导读

本题考查周期性，以及零点。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 记函数 $f(x)=\cos (\omega x+\phi )(\omega >0,0<\phi <\pi )$ 的最小正周期为 $T$．若 $f(T)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x=\frac{\pi }{9}$ 为 $f(x)$ 的零点，则 $\omega$ 的最小值为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用周期定义求 $\phi$：

   • 根据周期性定义 $f(x+T)=f(x)$，可知 $f(T)=f(0+T)=f(0)$。

   • 代入 $f(0)$ 的表达式，结合已知值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $\phi$ 的范围，求出 $\phi$ 的值。

2. 利用零点条件求 $\omega$ 的通式：

   • 将零点 $x=\frac{\pi }{9}$ 代入解析式，令函数值为 $0$。

   • 利用余弦函数零点的通用表达形式 $X=k\pi +\frac{\pi }{2}$，建立关于 $\omega$ 和 $k$ 的方程。

3. 确定最小值：

   • 根据 $\omega >0$ 的条件，从整数 $k$ 中寻找使 $\omega$ 为正的最小值。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

1. 求解初相 $\phi$：

函数 $f(x)=\cos (\omega x+\phi )$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{\omega }$．

根据周期函数的性质，$f(T)=f(0+T)=f(0)$．

所以：

$f(T)=\cos (\omega \cdot 0+\phi )=\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$

因为 $0<\phi <\pi$，在 $(0,\pi )$ 范围内余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的角唯一：

$\phi =\frac{\pi }{6}$

此时函数解析式为 $f(x)=\cos (\omega x+\frac{\pi }{6})$．

2. 建立关于 $\omega$ 的方程：

已知 $x=\frac{\pi }{9}$ 是 $f(x)$ 的一个零点，代入得：

$\cos \left(\omega \cdot \frac{\pi }{9}+\frac{\pi }{6}\right)=0$

余弦函数等于 $0$ 的相位必须是 $\frac{\pi }{2}+k\pi$ 的形式（$k\in \mathbb{Z}$）：

$\frac{\omega \pi }{9}+\frac{\pi }{6}=k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$

3. 求解 $\omega$ 的最小值：

整理方程，两边同除以 $\pi$：

\frac{\omega}{9} + \frac{1}{6} = k + \frac{1}{2}$$$$\frac{\omega}{9} = k + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = k + \frac{1}{3}$$$$\omega = 9\left(k + \frac{1}{3}\right) = 9k + 3

因为题目要求 $\omega >0$，我们尝试取 $k$ 的值：

• 当 $k=-1$ 时，$\omega =-9+3=-6$（舍去）；

• 当 $k=0$ 时，$\omega =0+3=3$（符合）；

• 当 $k=1$ 时，$\omega =9+3=12$．

  显然，$\omega$ 的最小正值为 $3$．

结论：

答案填入 $3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 周期的代数本质：看到 $f(T)$ 不要死板地代入 $\frac{2\pi }{\omega }$ 去算，直接反应出 $f(T)=f(0)$ 能节省大量化简时间。

  2. 三角方程通解：解 $\cos \theta =0$ 时，务必写成 $\theta =k\pi +\frac{\pi }{2}$ 的通解形式，而不是只取特值，这样才能处理求“最小值”或“取值范围”的问题。

• 规律总结：三角函数中求参数 $\omega$ 的问题，通常归结为 $k\pi +\alpha$ 的不定方程，最终由 $\omega >0$ 或具体的区间限制来确定 $k$ 的取值。

• 避坑指南：

  • 角的范围：由 $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 求 $\phi$ 时，注意题目给定的区间是 $(0,\pi )$ 还是 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$，本题中若是 $(-\pi ,0)$ 则 $\phi =-\frac{\pi }{6}$，结果会完全不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-15 填-辅助角公式
• 2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性
• 2010-辽宁卷文-06 单-三角图象平移与周期