2013-新课标I卷理-15 填-辅助角公式

本题导读

本题考查辅助角公式，以及图象与性质。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 设当 $x=\theta$ 时，函数 $f(x)=\sin x-2\cos x$ 取得最大值，则 $\cos \theta =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 辅助角化简：利用辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ 将函数化为单一三角函数。
2. 分析最大值条件：
   • 确定函数的最大值为 $\sqrt{1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{5}$。
   • 当 $x=\theta$ 时取得最大值，说明此时 $\sin \theta -2\cos \theta =\sqrt{5}$。
3. 建立方程组：利用 $\sin \theta -2\cos \theta =\sqrt{5}$ 和 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 联立求解 $\cos \theta$。

✅【答案】

点击查看答案

$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：使用辅助角公式化简 $f(x)=\sin x-2\cos x=\sqrt{5}(\frac{1}{\sqrt{5}}\sin x-\frac{2}{\sqrt{5}}\cos x)$ 设 $\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}$（其中 $\alpha$ 为辅助角）。 则 $f(x)=\sqrt{5}(\sin x\cos \alpha -\cos x\sin \alpha )=\sqrt{5}\sin (x-\alpha )$。

第二步：根据最大值状态确定等式 由于 $\sin (x-\alpha )$ 的最大值为 1，所以 $f(x)$ 的最大值为 $\sqrt{5}$。 已知当 $x=\theta$ 时，$f(\theta )=\sqrt{5}$， 即 $\sin \theta -2\cos \theta =\sqrt{5}$ ①

第三步：联立求解 $\cos \theta$ 利用同角平方关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ ② 由 ① 得 $\sin \theta =\sqrt{5}+2\cos \theta$，代入 ② 中： $(\sqrt{5}+2\cos \theta {)}^2+{\cos }^2\theta =1$ $5+4\sqrt{5}\cos \theta +4{\cos }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ $5{\cos }^2\theta +4\sqrt{5}\cos \theta +4=0$ 这是一个关于 $\cos \theta$ 的一元二次方程，即 $(\sqrt{5}\cos \theta +2{)}^2=0$。 解得 $\sqrt{5}\cos \theta =-2$，即 $\cos \theta =-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

故答案为：$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$，其中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$。

核心方法：整体思想。当函数取得最大值时，辅助角对应的正弦值必为 1。

避坑指南：- 注意 $\cos \theta$ 的符号，最大值点处的 $\sin$ 和 $\cos$ 比例关系由原函数系数决定。 - 不要混淆辅助角 $\alpha$ 与题目中的变量 $\theta$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的单调性、和差角公式。

结论推广：函数 $y=a\sin x+b\cos x$ 在最大值点处，有 $\sin x=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos x=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$。

方法推广：若求 $\tan \theta$，可以直接由系数得出 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$。本题中 $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$ 且 $\cos \theta =-\frac{2}{\sqrt{5}}$ 并不准确，需结合方程结果。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷文-13 填-辅助角恒成立
• 2024-新高考II卷-13 填-和角的正切公式