本题导读
本题考查边角转化。核心在于三角变换法、边角互化法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2022年乙卷理） 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）证明：；
（2）若 ，，求 的周长．
🔍【思路分析】
破题导航
第一问（证明边长关系）：
三角变换：利用两角差的正弦公式 展开已知等式。
恒等变形：利用内角和性质 或将展开式重新组合，构造出 或 的形式。
边角互化：利用正弦定理将正弦值转化为边长，结合余弦定理完成证明。
第二问（求周长）：
利用结论：由（1）知 ，结合已知 求出 。
利用余弦定理：由 ，结合 的值求出 （或 ）。
完全平方公式：利用 求出 ，进而求得周长 。
✅【答案】
点击查看答案
(1)
(2) 的周长为
✍【详细解析】
Abstract
（1）证明：
方法一：三角恒等变换法
已知 ．
展开两角差公式：
去括号：
移项，将含 的项移至左边，其余移至右边：
提取公因式：
利用两角和公式 ：
在 中，，故：
利用正余弦定理角化边：
根据正弦定理 ，得：
即 ．
根据余弦定理 ，可得 ．
代入上式：
移项得：
．
证毕．
（2）求 的周长
1. 计算 ：
由（1）的结论 ．
已知 ，则：
．
2. 计算 ：
在证明过程中我们得到了 （或者直接利用余弦定理 ）。
由 得：
解得：．
3. 利用完全平方公式求 ：
．
因为 为边长，故 ．
所以 ．
4. 计算周长：
的周长 ．
结论：
的周长为 ．
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心技巧：
三角恒等变换的方向：遇到 这类形式，展开是第一反应。化简的目标通常是凑出 （即 ）或者构造出正弦定理的形式。
整体思想：在求 时，不需要分别求出 和 ，通过 整体求解更加高效。
规律总结： 这个结论在解三角形中代表 边的中线长度 与 的关系（）。
避坑指南：
在第一问证明中，不要在得到 后直接约去 （除非能说明 与 的关系），最佳路径是转为边长关系。
解法中如果出现 等无关公式，这是 OCR 识别错误，做题时需自动过滤。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：待补
结论推广：待补
🔗【关联脉络】
Multi column
知识锚点 (Nodes)
类题演练 (Links)