2022-北京卷-05 单-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式，以及余弦函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 已知函数 $f(x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$，则 ()

A. $f(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{6}\right)$ 上单调递减

B. $f(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{12}\right)$ 上单调递增

C. $f(x)$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{3}\right)$ 上单调递减

D. $f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{12}\right)$ 上单调递增

🔍【思路分析】

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1. 函数解析式化简：观察函数解析式 $f(x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$，这正是余弦的二倍角公式的标准形式，可直接化简为 $f(x)=\cos 2x$。

2. 确定整体单调区间：利用复合函数的单调性或直接代入余弦函数的单调区间公式，求出 $f(x)=\cos 2x$ 的整体单调递增和单调递减区间。

   • 余弦函数 $y=\cos t$ 的减区间为 $[2k\pi ,2k\pi +\pi ]$，增区间为 $[2k\pi -\pi ,2k\pi ]$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

3. 结合选项逐一判定：将各个选项给出的区间与求得的整体单调区间进行对比，看选项中的区间是否为整体单调区间的子集。若是，则单调性成立；若跨越了增减区间的极值点，则不单调。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

方法：化简与区间判定法

1. 化简函数：

   由余弦的二倍角公式可得：

   $f(x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$

   其最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

2. 求单调区间：

   • 单调递减区间：令 $2k\pi \le 2x\le 2k\pi +\pi (k\in \mathbb{Z})$，

     解得 $k\pi \le x\le k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$。

     所以 $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[k\pi ,k\pi +\frac{\pi }{2}\right](k\in \mathbb{Z})$。

   • 单调递增区间：令 $2k\pi -\pi \le 2x\le 2k\pi (k\in \mathbb{Z})$，

     解得 $k\pi -\frac{\pi }{2}\le x\le k\pi (k\in \mathbb{Z})$。

     所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[k\pi -\frac{\pi }{2},k\pi \right](k\in \mathbb{Z})$。

3. 逐项判断：

   • 选项 A：令 $k=0$，增区间为 $\left[-\frac{\pi }{2},0\right]$。因为 $\left(-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{6}\right)\subseteq \left[-\frac{\pi }{2},0\right]$，所以 $f(x)$ 在该区间上单调递增，故 A 错误。

   • 选项 B：当 $x\in \left(-\frac{\pi }{4},0\right)$ 时，$f(x)$ 单调递增；当 $x\in \left(0,\frac{\pi }{12}\right)$ 时，$f(x)$ 单调递减（因为 $0$ 是极大值点）。所以 $f(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{12}\right)$ 上不单调，故 B 错误。

   • 选项 C：令 $k=0$，减区间为 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$。因为 $\left(0,\frac{\pi }{3}\right)\subseteq \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，所以 $f(x)$ 在该区间上单调递减，故 C 正确。

   • 选项 D：当 $x\in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 时，$f(x)$ 单调递减；当 $x\in \left(\frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{12}\right)$ 时，$f(x)$ 单调递增（因为 $\frac{\pi }{2}$ 是极小值点）。所以在 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{12}\right)$ 上不单调，故 D 错误。

结论：对应选项 C 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 熟记二倍角公式：

   余弦的二倍角公式有三种常见形式，必须熟练掌握并能正逆双向运用：

   • $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ (本题考查点)

   • $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ (常用于降幂)

   • $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ (常用于降幂)

2. 复合函数单调区间的求法（整体代换法）：

   对于 $y=A\cos (\omega x+\phi )$ 形式的函数，求单调区间时，将内层函数 $(\omega x+\phi )$ 看作一个整体，代入基本余弦函数的单调区间不等式中进行求解。注意当 $\omega >0$ 时，内外层函数单调性一致（同增同减）；若 $\omega <0$，一般先利用诱导公式将其化为正数后再求解，以免不等式变号出错。

3. 子集验证：选择题中判断函数在某区间上的单调性，本质上就是验证所给区间是否为函数该性质广义区间的子集。另外，也要注意区间内是否包含了函数的极值点。

4. 试题评价：本题主要考查了余弦的二倍角公式以及余弦型函数的单调区间求解，思路直接，运算量小，属于非常标准的高考基础题。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象
• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换
• 2009-福建卷文-19 解-三角函数图象平移