2022-北京卷-12 填-双曲线渐近线

本题导读

本题考查双曲线的定义与标准方程，以及双曲线的渐近线。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 已知双曲线 $y^2+\frac{x^2}{m}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$，则 $m=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

本题的核心在于“标准方程的化归”与“渐近线公式的匹配”。

观察方程 $y^2+\frac{x^2}{m}=1$，由于 $y^2$ 的系数为正，这表示双曲线的焦点在 $y$ 轴上。因此，$x^2$ 的分母必须是负数，这隐含了 $m<0$ 的关键条件。

将其化为标准形式后，利用焦点在 $y$ 轴上的双曲线渐近线方程 $y=\pm \frac{a}{b}x$（注意区分焦点在 $x$ 轴还是 $y$ 轴），与题目给出的已知方程进行系数比对即可求解。

✅【答案】

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$-3$

✍【详细解析】

Abstract

将双曲线 $y^2+\frac{x^2}{m}=1$ 化为焦点在 $y$ 轴上的标准方程形式：

$y^2-\frac{x^2}{-m}=1$

由双曲线标准方程的定义可知，实半轴长的平方 $a^2=1$，虚半轴长的平方 $b^2=-m$。

且由于虚半轴长平方必须大于 $0$，所以 $-m>0$，即 $m<0$。

对于焦点在 $y$ 轴上的双曲线 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$，其渐近线方程为 $y=\pm \frac{a}{b}x$。

代入本题参数，可得该双曲线的渐近线方程为：

$y=\pm \frac{1}{\sqrt{-m}}x$

又已知双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$，所以有：

$\frac{1}{\sqrt{-m}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

将等式两边同时平方：

\frac{1}{-m} = \frac{3}{9}$$$$\frac{1}{-m} = \frac{1}{3}

解得：

$-m=3⟹m=-3$

经检验 $m=-3$ 满足 $m<0$ 的前提条件。

故答案为：$-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

本题主要考查双曲线的简单几何性质（特别是渐近线方程）。属于基础题。

本题易错点有两个：

1. 焦点位置判断失误：没有判断出焦点在 $y$ 轴上，错用公式 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 导致算错结果；

2. 标准方程转化遗漏：忘记将原方程化为标准形式提取出 $b^2=-m$，直接用 $m$ 开根号导致符号错误或无法计算。 解题时一定要先化为标准方程，再代入对应的性质公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-03 填-渐近线
• 2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义
• 2014-浙江卷理-16 填-渐近线