2022-北京卷-18 解-概率综合

本题导读

本题考查频率分布与平均数。核心在于统计法/用频率估计概率、代数法/期望的定义法与线性性质的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年北京卷） 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 $9.50\text{m}$ 以上（含 $9.50\text{m}$）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：$\text{m}$）：

• 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

• 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

• 丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（Ⅱ）设 $X$ 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 $X$ 的数学期望 $E(X)$；

（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

🔍【思路分析】

破题导航

• 第（Ⅰ）问（求概率）：根据“用频率估计概率”的原则，找出甲的所有成绩数据中大于等于 $9.50$ 的个数，除以甲的总成绩数据个数即可。

• 第（Ⅱ）问（求分布列与期望）：首先分别求出甲、乙、丙获得优秀奖的概率。由于他们三人是否获奖相互独立，总获奖人数 $X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$。利用独立事件概率乘法公式分别计算每个取值对应的概率，列出分布列后代入期望公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算即可。

• 第（Ⅲ）问（统计预测）：冠军得主通常由整体实力的平均水平决定。分别计算三人的平均成绩，平均成绩最高者获得冠军的概率估计值最大。

✅【答案】

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(1) $\frac{2}{5}$

(2) $E(X)=\frac{7}{5}$

(3) 甲获得冠军的概率估计值最大

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）估计甲获得优秀奖的概率

由题意可知，甲以往的 $10$ 次成绩中，大于等于 $9.50\text{m}$ 的成绩有：$9.80,9.70,9.55,9.54$，共 $4$ 次。

用频率估计概率，设甲获得优秀奖的概率为 $P_1$，则：

$P_1=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

答：甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率估计为 $\frac{2}{5}$。

（Ⅱ）估计 $X$ 的数学期望 $E(X)$

用频率估计概率：

• 乙以往的 $6$ 次成绩中有 $3$ 次大于等于 $9.50\text{m}$，故乙获得优秀奖的概率 $P_2=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；

• 丙以往的 $4$ 次成绩中有 $2$ 次大于等于 $9.50\text{m}$，故丙获得优秀奖的概率 $P_3=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。

随机变量 $X$ 表示获得优秀奖的总人数，其所有可能取值为 $0,1,2,3$。

因为甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，所以：

P(X=0) = \left(1 - \frac{2}{5}\right) \times \left(1 - \frac{1}{2}\right) \times \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{20}$$$$P(X=1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{2+3+3}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$$$$P(X=2) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{2+2+3}{20} = \frac{7}{20}$$$$P(X=3) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}

故 $X$ 的分布列为：

X	0	1	2	3
$P$	$\frac{3}{20}$	$\frac{8}{20}$	$\frac{7}{20}$	$\frac{2}{20}$

所以 $X$ 的数学期望为：

$E(X)=0\times \frac{3}{20}+1\times \frac{8}{20}+2\times \frac{7}{20}+3\times \frac{2}{20}=\frac{8+14+6}{20}=\frac{28}{20}=\frac{7}{5}$

（Ⅲ）判断谁获得冠军的概率最大

计算三人历史成绩的平均值：

• 甲的平均成绩 ${\bar{x}}_{\text{甲}}=\frac{1}{10}(9.80+9.70+9.55+9.54+9.48+9.42+9.40+9.35+9.30+9.25)=9.479$；

• 乙的平均成绩 ${\bar{x}}_{\text{乙}}=\frac{1}{6}(9.78+9.56+9.51+9.36+9.32+9.23)\approx 9.460$；

• 丙的平均成绩 ${\bar{x}}_{\text{丙}}=\frac{1}{4}(9.85+9.65+9.20+9.16)=9.465$。

因为 ${\bar{x}}_{\text{甲}}>{\bar{x}}_{\text{丙}}>{\bar{x}}_{\text{乙}}$，所以甲成绩的平均值最高，其整体实力最强。

故甲获得冠军的概率估计值最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

技巧拓展：期望的线性性质（快速求解法）

在第（Ⅱ）问中，计算相互独立事件发生的总次数的期望，可以用期望的线性性质大幅简化计算：

设 $X_1,X_2,X_3$ 分别表示甲、乙、丙是否获奖（获奖为1，未获奖为0）。

显然 $X_1,X_2,X_3$ 均服从两点分布，且总人数 $X=X_1+X_2+X_3$。

因此：

$E(X_1)=P_1=\frac{2}{5}$

$E(X_2)=P_2=\frac{1}{2}$

$E(X_3)=P_3=\frac{1}{2}$

根据期望的线性性质：

$E(X)=E(X_1+X_2+X_3)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)=\frac{2}{5}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{7}{5}$

这种方法不需要求复杂的分布列，一步即可得出期望，尤其适用于填空题，在解答题中也可以作为绝佳的验算手段，强烈建议掌握！

易错点：

列分布列时，算完所有的概率后，一定要在草稿纸上把所有概率加起来检验是否等于1（本题 $\frac{3}{20}+\frac{8}{20}+\frac{7}{20}+\frac{2}{20}=\frac{20}{20}=1$），这是防止中间计算出错的最后一道范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-19 解-相互独立事件的概率乘法公式
• 2013-江西卷理-18 解-分布列
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列