2022-天津卷-05 单-指数对数比较

本题导读

本题考查指数函数的性质，以及对数函数的性质。

📌【题干】

Question

（2022年天津卷） 已知 $a=2^{0.7}$，$b={\left(\frac{1}{3}\right)}^{0.7}$，$c={\log }_2\frac{1}{3}$，比较 $a,b,c$ 的大小()

A. $a>b>c$　　B. $a>c>b$　　C. $b>a>c$　　D. $c>a>b$

🔍【思路分析】

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比较不同底数、不同类型的幂值与对数值大小时，最常用的方法是中间值法。通常选取 $0$ 或 $1$ 作为“标杆”，判断各个数值所处的区间，即可快速排出顺序。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判断 $a$ 的范围

对于 $a=2^{0.7}$，底数为 $2>1$，指数函数 $y=2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。

因为 $0.7>0$，所以 $2^{0.7}>2^0=1$。即：$a>1$。

第二步：判断 $b$ 的范围

对于 $b={\left(\frac{1}{3}\right)}^{0.7}$，底数为 $\frac{1}{3}\in (0,1)$，指数函数 $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。

因为 $0.7>0$，所以 $0<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{0.7}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$。即：$0<b<1$。

第三步：判断 $c$ 的范围

对于 $c={\log }_2\frac{1}{3}$，底数为 $2>1$，对数函数 $y={\log }_{2}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。

因为 $0<\frac{1}{3}<1$，所以 ${\log }_2\frac{1}{3}<{\log }_{2}1=0$。即：$c<0$。

第四步：综合排序

综上所述，$a>1$，$0<b<1$，$c<0$。

所以：$a>b>c$。

故选：A。

本题考察指数值和对数值的比较大小。解决这一类题目往往要结合单调性并借助于中间值 $0$ 或 $1$，属于基础题，旨在考查学生对基本初等函数性质的熟练掌握程度。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 中间值法的选择：

   • 当数值分散在 $1$ 的两侧时，优先选 $1$ 作为中间值。

   • 当存在负数时，优先选 $0$ 作为中间值。

2. 比较大小的通用策略：

   • 同底时：直接利用单调性。

   • 同指时：利用函数图像或取特殊值判断。

   • 不同底且不同指时：寻找中间量（如 $0,1,\frac{1}{2}$ 等）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-02 单-对数比较大小
• 2008-大纲卷II文-05 单-对数比较大小
• 2011-重庆卷文-06 单-对数比较大小