2008-北京卷文-02 单-对数比较大小

本题导读

考查对数比较大小。与 $0$、$1$ 比较定位：$a>1$，$0<b<1$，$c<0$，得 $a>b>c$，选 A。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 若 $a={\log }_3\pi$，$b={\log }_{7}6$，$c={\log }_{2}0.8$，则()

A. $a>b>c$　　　　　B. $b>a>c$　　　　　C. $c>a>b$　　　　　D. $b>c>a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a={\log }_3\pi$：$\pi >3$，故 $a>1$。
2. $b={\log }_{7}6$：$1<6<7$，故 $0<b<1$。
3. $c={\log }_{2}0.8$：$0.8<1$，故 $c<0$。
4. 三数分居三段，直接排序。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

由对数函数的性质： $a={\log }_3\pi >{\log }_{3}3=1$； $0={\log }_{7}1<b={\log }_{7}6<{\log }_{7}7=1$； $c={\log }_{2}0.8<{\log }_{2}1=0$. 所以 $a>1>b>0>c$，即 $a>b>c$. 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数比较大小（中间量定位）

核心方法：$a>1$，$0<b<1$，$c<0$，故 $a>b>c$

避坑指南：三个数分别落在 $(1,+\infty )$、$(0,1)$、$(-\infty ,0)$ 三个不同区间时无需精细比较；定界的关键是”真数与底数比大小”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“与 0、1 比定位”是比较大小的第一反应，2009 大纲Ⅱ文第 7 题、2010 天津文第 6 题同型。

结论推广：${\log }_{a}N>1⟺N>a$（$a>1$）；$0<{\log }_{a}N<1⟺1<N<a$；${\log }_{a}N<0⟺0<N<1$。

方法推广：先比 $1$ 再比 $0$；同区间内才需要换底或作差；本题三数分居三段，一步定位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-07 单-对数比较大小
• 2010-大纲卷I文-10 单-指对数比较大小
• 2010-天津卷文-06 单-指对数比较大小
• 2011-北京卷文-03 单-对数不等式比较