2022-新高考I卷-19 解-立几综合

本题导读

本题考查直三棱柱的体积与表面积计算。核心在于等体积法、空间向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年新高考I卷） 如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的体积为 $4$，$△A_{1}BC$ 的面积为 $2\sqrt{2}$。

（1）求 $A$ 到平面 $A_{1}BC$ 的距离；

（2）设 $D$ 为 $A_{1}C$ 的中点，$A{A}_1=AB$，平面 $A_{1}BC\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，求二面角 $A-BD-C$ 的正弦值。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（点面距离）：

• 等体积转化：三棱锥 $A-A_{1}BC$ 的体积与三棱锥 $A_1-ABC$ 的体积相等。
• 体积关系：直三棱柱中，$V_{A_1-ABC}=\frac{1}{3}{V}_{柱}$。
• 公式求解：利用 $V=\frac{1}{3}{S}_{△A_{1}BC}\cdot d$ 反求距离 $d$。

2. 第二问（二面角正弦值）：

• 几何关系推导：利用“面面垂直 $\to$ 线面垂直”。已知面 $A_{1}BC\perp$ 面 $AB{B}_1{A}_1$，且面 $ABC\perp$ 面 $AB{B}_1{A}_1$（直棱柱性质）。根据性质，交线垂直于第三个面，推导出 $BC\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$。
• 参数计算：设 $A{A}_1=AB=x$，通过体积公式和面积已知条件解出 $x$ 及 $BC$ 的长度。
• 建系求角：建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面 $ABD$ 与平面 $BCD$ 的法向量，计算余弦值后转化为正弦值。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 二面角正弦值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $A$ 到平面 $A_{1}BC$ 的距离

1. 利用等体积法转化： 在直三棱柱中，三棱锥 $A_1-ABC$ 的体积是三棱柱体积的 $\frac{1}{3}$． 故 $V_{A_1-ABC}=\frac{1}{3}\times 4=\frac{4}{3}$．

2. 建立点面距离方程： 设点 $A$ 到平面 $A_{1}BC$ 的距离为 $d$．根据体积公式 $V_{A-A_{1}BC}=V_{A_1-ABC}$： $\frac{1}{3}{S}_{△A_{1}BC}\cdot d=\frac{4}{3}$． 代入 $S_{△A_{1}BC}=2\sqrt{2}$，得： $\frac{1}{3}\times 2\sqrt{2}\cdot d=\frac{4}{3}\Rightarrow d=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$． 结论：距离为 $\sqrt{2}$．

（2）求二面角 $A-BD-C$ 的正弦值

1. 确定几何体度量关系： 由直三棱柱可知 $B{B}_1\perp$ 平面 $ABC$，故平面 $ABC\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$． 已知平面 $A_{1}BC\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，且平面 $ABC\cap$ 平面 $A_{1}BC=BC$， 根据面面垂直的性质，得 $BC\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，故 $BC\perp AB$ 且 $BC\perp A_{1}B$．

设 $AB=A{A}_1=x$，在直角 $△ABC$ 中，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}x\cdot BC$． 体积 $V=S_{△ABC}\cdot A{A}_1=\frac{1}{2}{x}^2\cdot BC=4\Rightarrow BC=\frac{8}{x^2}$． 在直角 $△A_{1}BC$ 中，$A_{1}B=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x$． $S_{△A_{1}BC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot \sqrt{2}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{x^2}\cdot \sqrt{2}x=\frac{4\sqrt{2}}{x}=2\sqrt{2}$． 解得 $x=2$，故 $AB=BC=A{A}_1=2$．

2. 建立坐标系： 以 $B$ 为原点，$BC,BA,B{B}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴． 各点坐标：$B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),A_1(0,2,2),D(1,1,1)$．

3. 计算法向量：

• 平面 $ABD$ 的法向量 $\vec{n}=(1,0,-1)$．

• 平面 $BCD$ 的法向量 $\vec{m}=(0,1,-1)$．

4. 计算二面角： $\cos ⟨\vec{n},\vec{m}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$． 二面角的正弦值 $\sin \theta =\sqrt{1-(\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$． 结论：正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 等体积法的灵活性：求点到平面的距离时，若该点所在的锥体体积易求（如作为柱体的一部分），“等体积法”通常比直接作垂线找垂足更具操作性。
2. 线面垂直的判定：在直棱柱中，利用已有的面面垂直关系（通常是底面与侧面）结合题目给出的额外垂直条件，是快速确定几何体内部垂直关系的关键。
3. 坐标法的严谨性：计算坐标和法向量时要细心。最后求正弦值时，注意向量夹角公式给出的是余弦值，必须进行转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：第二问如果不使用坐标法，可以考虑在 $△ABD$ 和 $△CBD$ 中利用三垂线定理寻找二面角的平面角，通过解三角形求出角度。
• 变式思考：若 $D$ 点变为 $A_{1}C$ 的上靠近 $A_1$ 的三等分点，坐标法依然有效，只需调整 $D$ 点坐标即可。
• 名师寄语：立体几何大题求的是“稳”。第一问用好体积公式，第二问找准垂直关系建系，只要计算不出错，这 12 分就是囊中之物。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-20 解-线面平行二面角
• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2008-福建卷理-18