2011-上海卷理-21 解-线面角

本题导读

本题考查线面角与二面角的平面角。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 已知 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是底面边长为 1 的正四棱柱，$O_1$ 为 $A_1{C}_1$ 与 $B_1{D}_1$ 的交点.

(1) 设 $A{B}_1$ 与底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 所成角的大小为 $\alpha$，二面角 $A-B_1{D}_1-A_1$ 的大小为 $\beta$. 求证：$\tan \beta =\sqrt{2}\tan \alpha$；

(2) 若点 $C$ 到平面 $A{B}_1{D}_1$ 的距离为 $\frac{4}{3}$，求正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的高.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：

• 因为 $A{A}_1\perp$ 底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，所以 $A{B}_1$ 在底面上的投影为 $A_1{B}_1$，故 $\angle A{B}_1{A}_1=\alpha$，$\tan \alpha =\frac{A{A}_1}{A_1{B}_1}$；
• 在底面正方形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A_1{O}_1\perp B_1{D}_1$。由三垂线定理知 $A{O}_1\perp B_1{D}_1$，故 $\angle A{O}_1{A}_1$ 为二面角 $A-B_1{D}_1-A_1$ 的平面角，即 $\beta =\angle A{O}_1{A}_1$，$\tan \beta =\frac{A{A}_1}{A_1{O}_1}$；
• 比较 $A_1{B}_1$ 与 $A_1{O}_1$ 的比值即可完成证明。

2. 对 (2)：

• 设棱柱的高为 $h$（$A{A}_1=h$）。建立空间直角坐标系或利用几何法：
• 因为 $AC\parallel A_1{C}_1$，线段 $AC$ 与平面 $A{B}_1{D}_1$ 相交于点 $A$，利用向量法求平面 $A{B}_1{D}_1$ 的法向量，代入点到平面距离公式；
• 或者连接相关线段，求出点 $C$ 到该平面的距离表达式，令其等于 $\frac{4}{3}$，解出方程求 $h$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 在正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A{A}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$。 所以 $A_1{B}_1$ 是斜线 $A{B}_1$ 在底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 上的射影， 因此 $\angle A{B}_1{A}_1$ 为斜线 $A{B}_1$ 与底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 所成的角，即： $\angle A{B}_1{A}_1=\alpha$ 在 $\text{Rt}△A{A}_1{B}_1$ 中： $\tan \alpha =\frac{A{A}_1}{A_1{B}_1}$ 因为底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是正方形，$O_1$ 为对角线 $A_1{C}_1$ 与 $B_1{D}_1$ 的交点， 所以 $A_1{O}_1\perp B_1{D}_1$。 又因为 $A{A}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，$B_1{D}_1\subset$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，所以 $A{A}_1\perp B_1{D}_1$。 又 $A{A}_1\cap A_1{O}_1=A_1$，所以 $B_1{D}_1\perp$ 平面 $A{A}_1{O}_1$。 从而 $B_1{D}_1\perp A{O}_1$。 故 $\angle A{O}_1{A}_1$ 为二面角 $A-B_1{D}_1-A_1$ 的平面角，即： $\angle A{O}_1{A}_1=\beta$ 在 $\text{Rt}△A{A}_1{O}_1$ 中： $\tan \beta =\frac{A{A}_1}{A_1{O}_1}$ 因为底面正方形边长为 1，所以 $A_1{B}_1=1$，$A_1{C}_1=\sqrt{2}$，$A_1{O}_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 因此： $\tan \beta =\frac{A{A}_1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2A{A}_1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\cdot \frac{A{A}_1}{1}=\sqrt{2}\tan \alpha$ 即 $\tan \beta =\sqrt{2}\tan \alpha$ 成立。

(2) 设正四棱柱的高为 $h$（$h>0$），即 $A{A}_1=h$。 以 $A_1$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{A_1{B}_1},\overrightarrow{A_1{D}_1},\overrightarrow{A_{1}A}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $A_1-xyz$。 各点坐标为： $A_1(0,0,0),A(0,0,h),B_1(1,0,0),D_1(0,1,0),C(1,1,h)$ 由此可得： $\overrightarrow{A{B}_1}=(1,0,-h),\overrightarrow{A{D}_1}=(0,1,-h),\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$ 设平面 $A{B}_1{D}_1$ 的一个法向量为 $\mathbf{n}=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{A{B}_1}=0\\ \mathbf{n}\cdot \overrightarrow{A{D}_1}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x-hz=0\\ y-hz=0\end{array}$ 取 $z=1$，则 $x=h,y=h$。 所以平面 $A{B}_1{D}_1$ 的一个法向量为： $\mathbf{n}=(h,h,1)$ 点 $C$ 到平面 $A{B}_1{D}_1$ 的距离 $d$ 等于向量 $\overrightarrow{AC}$ 在法向量 $\mathbf{n}$ 方向上的投影的绝对值： $d=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}=\frac{|1\times h+1\times h+0\times 1|}{\sqrt{h^2+h^2+1^2}}=\frac{2h}{\sqrt{2h^2+1}}$ 已知点 $C$ 到平面 $A{B}_1{D}_1$ 的距离为 $\frac{4}{3}$，所以： $\frac{2h}{\sqrt{2h^2+1}}=\frac{4}{3}$ 两边同除以 2，得： $\frac{h}{\sqrt{2h^2+1}}=\frac{2}{3}$ 两边平方： $\frac{h^2}{2h^2+1}=\frac{4}{9}$ $9h^2=4(2h^2+1)=8h^2+4$ 解得： $h^2=4$ 因为 $h>0$，所以： $h=2$ 故正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的高为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三垂线定理作二面角、空间线面角正切值计算、空间点到平面的距离公式。
• 核心方法：
• 第 (1) 问：明确线面角的射影与二面角平面角的三垂线几何构造；
• 第 (2) 问：坐标建系法求法向量及点面距离公式 $d=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$，避免复杂的几何辅助线。
• 避坑指南：
• 建立坐标系时注意原点和各轴垂直性，正四棱柱侧棱垂直于底面，直接以底面两垂直边及侧棱建系即可；
• 计算距离时向量取 $\overrightarrow{AC}$（因为点 $A$ 在平面 $A{B}_1{D}_1$ 上），注意点 $C$ 坐标为 $(1,1,h)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版/沪教版立体几何大题标准模型，以正四棱柱为载体综合考查空间角与空间距离。
• 结论推广：在正四棱柱中，设底面边长为 $a$，高为 $h$，则二面角平面角 $\beta$ 与线面角 $\alpha$ 恒满足 $\tan \beta =\sqrt{2}\tan \alpha$；且顶点 $C$ 到截面 $A{B}_1{D}_1$ 的距离恒为 $d=\frac{2ah}{\sqrt{2h^2+a^2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2022-新高考I卷-19 解-立几综合
• 1996-全国卷理-19