2022-新高考II卷-09 多-三角函数性质

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，以及$y=A\sin$ 的参数求。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 已知函数 $f(x)=\sin (2x+\phi )(0<\phi <\pi )$ 的图象关于点 $(\frac{2\pi }{3},0)$ 中心对称，则()

A. $f(x)$ 在区间 $(0,\frac{5\pi }{12})$ 单调递减

B. $f(x)$ 在区间 $(-\frac{\pi }{12},\frac{11\pi }{12})$ 有两个极值点

C. 直线 $x=\frac{7\pi }{6}$ 是曲线 $y=f(x)$ 的对称轴

D. 直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}-x$ 是曲线 $y=f(x)$ 的切线

🔍【思路分析】

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1. 求解析式：利用正弦函数对称中心的性质，令 $2\times \frac{2\pi }{3}+\phi =k\pi (k\in \mathbb{Z})$，结合 $\phi$ 的范围求出 $\phi$，得到 $f(x)$ 的确切表达式。
2. 判定 A (单调性)：将 $x$ 的区间 $(0,\frac{5\pi }{12})$ 代入整体相位 $2x+\phi$，观察该整体区间是否落在正弦函数的一个单调递减区间内。
3. 判定 B (极值点)：同理，将 $x$ 的区间代入整体相位，观察该区间内包含几个使得正弦值为 $\pm 1$ 的相位点（注意开区间端点）。
4. 判定 C (对称轴)：将 $x=\frac{7\pi }{6}$ 代入 $f(x)$，检验函数值是否为 $\pm 1$。
5. 判定 D (切线)：对 $f(x)$ 求导。令导数（斜率）等于 $-1$，求出可能的切点横坐标 $x_0$。再验证切点 $(x_0,f(x_0))$ 是否在给定直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}-x$ 上。

✅【答案】

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AD

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求初相 $\phi$ 及函数解析式 因为 $f(x)$ 的图象关于点 $(\frac{2\pi }{3},0)$ 中心对称，正弦函数的对称中心横坐标使得相位为 $k\pi$。 所以 $2\times \frac{2\pi }{3}+\phi =k\pi (k\in \mathbb{Z})$。 解得 $\phi =k\pi -\frac{4\pi }{3}$。 因为 $0<\phi <\pi$，取 $k=2$ 时，$\phi =2\pi -\frac{4\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$。 故函数解析式为 $f(x)=\sin (2x+\frac{2\pi }{3})$。

第二步：判定选项 A 当 $x\in (0,\frac{5\pi }{12})$ 时，整体相位 $t=2x+\frac{2\pi }{3}$ 的范围是： $2\times 0+\frac{2\pi }{3}<2x+\frac{2\pi }{3}<2\times \frac{5\pi }{12}+\frac{2\pi }{3}$ 即 $t\in (\frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{6}+\frac{4\pi }{6})=(\frac{2\pi }{3},\frac{3\pi }{2})$。 在区间 $(\frac{2\pi }{3},\frac{3\pi }{2})$ 内，正弦函数 $y=\sin t$ 单调递减。 所以 $f(x)$ 在该区间单调递减。故 A 正确。

第三步：判定选项 B 当 $x\in (-\frac{\pi }{12},\frac{11\pi }{12})$ 时，整体相位 $t=2x+\frac{2\pi }{3}$ 的范围是： $t\in (-\frac{\pi }{6}+\frac{4\pi }{6},\frac{11\pi }{6}+\frac{4\pi }{6})=(\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{2})$。 注意这是个开区间。正弦函数取得极值时的相位形式为 $k\pi +\frac{\pi }{2}$。 在开区间 $(\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{2})$ 内，只有当 $t=\frac{3\pi }{2}$ 时取得一个极值（极小值 $-1$）。 $t=\frac{\pi }{2}$ 和 $t=\frac{5\pi }{2}$ 是区间的端点，取不到。 因此区间内只有 1 个极值点。故 B 错误。

第四步：判定选项 C 若 $x=\frac{7\pi }{6}$ 是对称轴，则 $f(\frac{7\pi }{6})=\pm 1$。 代入计算：$f(\frac{7\pi }{6})=\sin (2\times \frac{7\pi }{6}+\frac{2\pi }{3})=\sin (\frac{7\pi }{3}+\frac{2\pi }{3})=\sin 3\pi =0$。 函数值为 0 说明 $(\frac{7\pi }{6},0)$ 是一个对称中心，而不是对称轴。故 C 错误。

第五步：判定选项 D 直线 $y=-x+\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的斜率为 $k=-1$。 对 $f(x)$ 求导：$f^{\prime }(x)=2\cos (2x+\frac{2\pi }{3})$。 令 $f^{\prime }(x_0)=-1$，即 $\cos (2x_0+\frac{2\pi }{3})=-\frac{1}{2}$。 取其中一个解：$2x_0+\frac{2\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$（即 $x_0=0$ 时，$\cos (\frac{2\pi }{3})=-\frac{1}{2}$）。 当 $x_0=0$ 时，切点纵坐标 $y_0=f(0)=\sin (\frac{2\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 即切点为 $(0,\frac{\sqrt{3}}{2})$。 将该切点坐标代入直线方程检验：$\frac{\sqrt{3}}{2}=-0+\frac{\sqrt{3}}{2}$，等式成立。 说明该直线确实是曲线在点 $(0,\frac{\sqrt{3}}{2})$ 处的切线。故 D 正确。

综上所述，正确选项为 AD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 整体代换法：处理 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的性质时，将 $\omega x+\phi$ 视为一个整体 $t$，是绝对的标准通法。算出 $t$ 的范围后，再回到基础的 $y=\sin t$ 图象上“按图索骥”。
2. 开闭区间的陷阱：在判断极值点或零点个数时，必须高度关注题目给出的是开区间还是闭区间。端点处的极值往往是命题人设置的陷阱（如本题的 B 选项）。
3. 对称性的代数特征：

• 对称轴 $x=x_0⟺f(x_0)=\pm A$（最值处）。
• 对称中心 $(x_0,0)⟺f(x_0)=0$（零点处）。

4. 切线验证的“两点一线”：判定一条直线是否为曲线的切线，不仅要保证导数（斜率）相等，还必须保证切点既在曲线上，也在直线上。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：D 选项中，我们只取了 $2x_0+\frac{2\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$ 这个特解，如果取另一个解 $2x_0+\frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$ 呢？ (提示：此时 $x_0=\frac{\pi }{3}$，$y_0=f(\frac{\pi }{3})=\sin (\frac{4\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。切点为 $(\frac{\pi }{3},-\frac{\sqrt{3}}{2})$。代入直线方程 $y=-x+\frac{\sqrt{3}}{2}$ 会发现不成立。这说明斜率为 $-1$ 的切线有无数条，而 $y=-x+\frac{\sqrt{3}}{2}$ 只是其中在 $x=0$ 处相切的那一条。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-13 填-折线函数与导数
• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值
• 2008-江苏卷-08 填-切线求参数