2022-新高考II卷-17 解-数列综合

本题导读

本题考查等差数列的定义与通项公式。核心在于基本量法、恒等变形法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年新高考II卷） 已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{b_n\}$ 是公比为 $2$ 的等比数列，且 $a_2-b_2=a_3-b_3=b_4-a_4$。

（1）证明：$a_1=b_1$；

（2）求集合 $\{k\mid b_k=a_m+a_1,1⩽m⩽500\}$ 中元素的个数。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（证明首项相等）：

• 采用基本量法。设出等差数列的公差 $d$。
• 将已知等式 $a_2-b_2=a_3-b_3$ 转化为关于 $a_1,d,b_1$ 的代数式，从中解出 $d$ 和 $b_1$ 的比例关系。
• 再利用等式 $a_2-b_2=b_4-a_4$ 或 $a_3-b_3=b_4-a_4$，代入上一步得到的 $d$ 的关系式，化简即可证得 $a_1=b_1$。

2. 第二问（求集合元素个数）：

• 统一变量：利用（1）的结论 $a_1=b_1$ 以及推导出的 $d=2a_1$，写出 $b_k$ 和 $a_m$ 的通项公式（均用 $a_1$ 表示）。
• 建立等式：将通项公式代入条件 $b_k=a_m+a_1$ 中，约去非零的公因子 $a_1$（因为是等比数列首项，所以 $a_1\ne 0$）。
• 化简与估算：化简得到 $2^{k-1}=2m$，即 $2^{k-2}=m$。根据 $m$ 的范围 $1⩽m⩽500$，转化为关于 $k$ 的指数不等式 $1⩽2^{k-2}⩽500$。
• 枚举计数：寻找满足不等式的非负整数指数 $k-2$ 的个数，进而确定 $k$ 的个数。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $a_n=2n$

(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：$a_1=b_1$ 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 因为 $\{b_n\}$ 是公比为 $q=2$ 的等比数列， 所以 $b_2=2b_1$，$b_3=4b_1$，$b_4=8b_1$。 由 $a_2-b_2=a_3-b_3$，将通项公式代入得： $(a_1+d)-2b_1=(a_1+2d)-4b_1$ 化简得：$d=2b_1$。 ①

由 $a_2-b_2=b_4-a_4$，将通项公式代入得： $(a_1+d)-2b_1=8b_1-(a_1+3d)$ 移项整理得：$2a_1+4d=10b_1$。 将 ① 式 $d=2b_1$ 代入上式： $2a_1+4(2b_1)=10b_1$ $2a_1+8b_1=10b_1$ $2a_1=2b_1$ 所以 $a_1=b_1$。证明完毕。

(2) 求集合中元素的个数 由（1）可知，$a_1=b_1$ 且 $d=2b_1=2a_1$。 因为 $\{b_n\}$ 是等比数列，所以首项 $b_1\ne 0$，即 $a_1\ne 0$。 数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式分别为： $b_k=b_1\cdot 2^{k-1}=a_1\cdot 2^{k-1}$ $a_m=a_1+(m-1)d=a_1+(m-1)\cdot 2a_1=(2m-1)a_1$

根据题目给定的条件等式 $b_k=a_m+a_1$，代入通项： $a_1\cdot 2^{k-1}=(2m-1)a_1+a_1$ $a_1\cdot 2^{k-1}=2m\cdot a_1$ 由于 $a_1\ne 0$，等式两边同时除以 $a_1$： $2^{k-1}=2m$ $2^{k-2}=m$

题目要求 $m$ 的范围是 $1⩽m⩽500$。 所以：$1⩽2^{k-2}⩽500$。 因为 $k,m$ 均代表数列的项数，所以 $k\in {\mathbb{N}}^{\ast },m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$。 此时指数 $k-2$ 必须为非负整数：

• 当 $k-2=0$ 时，$2^0=1⩽500$ 成立，此时 $k=2$；
• 当 $k-2=1$ 时，$2^1=2⩽500$ 成立，此时 $k=3$；
• $\cdots \cdots$
• 当 $k-2=8$ 时，$2^8=256⩽500$ 成立，此时 $k=10$；
• 当 $k-2=9$ 时，$2^9=512>500$，不满足条件。

因此，指数 $k-2$ 可以取 $0,1,2,3,4,5,6,7,8$。 这些值对应的 $k$ 值分别为 $2,3,4,5,6,7,8,9,10$。 集合中的元素共有 $9$ 个。

故集合 $\{k\mid b_k=a_m+a_1,1⩽m⩽500\}$ 中元素的个数为 $9$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 通法致胜：基本量法：在处理等差、等比数列混合出现，且仅给出几项之间线性关系的题目时，最稳妥、最不需要技巧的方法就是“全部转化为首项（$a_1,b_1$）和公差/公比（$d,q$）”。这种方法思路清晰，只要计算不出错，必定能得出结论。
2. 消元技巧：在推导参数关系时，优先选取项数较小、结构较简单的等式进行化简。例如本题中，先利用 $a_2-b_2=a_3-b_3$ 发现 $a_1$ 消去了，直接得出 $d$ 和 $b_1$ 的关系，极大地降低了后续方程的复杂度。
3. 指数方程与不等式的整数解：

• 当遇到形如 $A\cdot 2^x=B\cdot y$ 的方程时，注意观察系数是否可以约分（如本题中的 $a_1$ 和 $2$）。
• 在估算 $2^n⩽500$ 时，熟记 $2$ 的各次方（如 $2^8=256,2^9=512,2^{10}=1024$）是高中数学必须具备的数字敏感度。

4. 易错点警示：

• 很多同学在约去 $a_1$ 时，没有说明 $a_1\ne 0$。虽然高考阅卷可能不会因此扣全分，但这属于逻辑漏洞。
• 在确定 $k$ 的个数时，容易遗漏 $k-2=0$（即 $k=2$）的情况，导致最终答案少数一个。一定要仔细检查区间端点 $1$ 是否被包含。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果将集合条件改为 $b_k=a_m$，在 $1⩽m⩽500$ 的范围内，$k$ 的可能取值有多少个？ (提示：代入后变为 $2^{k-1}=2m-1$。因为左边是 $2$ 的幂次（必定是偶数，除非 $k=1$ 时为 $1$），右边是奇数。所以只有当 $2^{k-1}=1$ 即 $k=1$ 时成立，此时 $m=1$。故集合中只有 1 个元素。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比
• 2013-江西卷理-03 单-等比中项
• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项