2022-浙江卷-13 填-同角三角函数

本题导读

本题考查诱导公式，以及同角三角函数基本关系。

📌【题干】

Question

（2022年浙江卷） 若 $3\sin \alpha -\sin \beta =\sqrt{10}$，$\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$，则 $\sin \alpha =$ $\underline{}$，$\cos 2\beta =$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

本题属于三角函数中的“条件求值”问题。

破题眼：看到双变量 $(\alpha ,\beta )$ 且已知 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$，第一反应必须是利用诱导公式进行“简化减元”，把 $\sin \beta$ 转化为 $\cos \alpha$。

计算策略：转化后得到 $3\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{10}$。这是一个关于 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 的一次关系式。在高中数学中，遇到正余弦的一次式，永远要记得联立它们天然的隐藏属性：同角三角函数平方关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$。两者联立构造一元二次方程，即可解出基本量。

✅【答案】

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$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一空：求 $\sin \alpha$（诱导公式与方程思想）

第一步：利用互余关系消元。

因为 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$，所以 $\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha$。

根据诱导公式，有 $\sin \beta =\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$。

代入已知等式 $3\sin \alpha -\sin \beta =\sqrt{10}$ 中，得到：

$3\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{10}$

（式①）

第二步：联立平方关系，代入求解。

将式①变形，孤立 $\cos \alpha$：

$\cos \alpha =3\sin \alpha -\sqrt{10}$

（式②）

由于任何角都满足隐含条件：${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$。

将式②代入平方关系式中：

${\sin }^2\alpha +(3\sin \alpha -\sqrt{10}{)}^2=1$

展开完全平方式：

${\sin }^2\alpha +9{\sin }^2\alpha -6\sqrt{10}\sin \alpha +10=1$

合并同类项，化简为标准的一元二次方程：

$10{\sin }^2\alpha -6\sqrt{10}\sin \alpha +9=0$

观察系数，判别式 $\Delta =(-6\sqrt{10}{)}^2-4\times 10\times 9=360-360=0$。

这说明方程左边是一个完全平方式：

$(\sqrt{10}\sin \alpha -3{)}^2=0$

解得：

$\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$

第二空：求 $\cos 2\beta$（目标转化与二倍角公式）

第一步：由已知求得涉及 $\beta$ 的基本量。

因为 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$，所以 $\alpha =\frac{\pi }{2}-\beta$。

利用诱导公式：$\cos \beta =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$。

由第一问可知：$\cos \beta =\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

第二步：利用二倍角公式求解目标式。

根据余弦的二倍角公式降幂形式 $\cos 2\beta =2{\cos }^2\beta -1$，代入计算：

\cos 2\beta = 2 \times \left(\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)^2 - 1$$$$\cos 2\beta = 2 \times \frac{90}{100} - 1$$$$\cos 2\beta = \frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}

故答案为：$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\frac{4}{5}$．

在解析第一空时，细心的同学可能会发现等式 $3\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{10}$ 中系数的奥秘：$3^2+(-1{)}^2=10$，而等式右边恰好是 $\sqrt{10}$。这并不是巧合！

巧妙解法（辅助角公式法）：

对式子左边提取系数平方和的算术平方根 $\sqrt{3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{10}$：

$\sqrt{10}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\sin \alpha -\frac{1}{\sqrt{10}}\cos \alpha \right)=\sqrt{10}$

两边同除以 $\sqrt{10}$：

$\frac{3}{\sqrt{10}}\sin \alpha -\frac{1}{\sqrt{10}}\cos \alpha =1$

设存在一个辅助角 $\phi$，满足 $\cos \phi =\frac{3}{\sqrt{10}},\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{10}}$。

则原等式变形为：

\sin\alpha\cos\varphi - \cos\alpha\sin\varphi = 1$$$$\sin(\alpha - \varphi) = 1

破局点来了：正弦函数的最大值就是 1。当 $\sin (\alpha -\phi )=1$ 成立时，意味着角 $\alpha -\phi$ 达到了最高点位置，此时它的余弦值必然为 0！

即：$\cos (\alpha -\phi )=0$。

将其展开：

$\cos \alpha \cos \phi +\sin \alpha \sin \phi =0$

把 $\cos \phi =\frac{3}{\sqrt{10}},\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{10}}$ 代入：

$\frac{3}{\sqrt{10}}\cos \alpha +\frac{1}{\sqrt{10}}\sin \alpha =0$

得出关系式：$\sin \alpha =-3\cos \alpha$。

结合原式 $3\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{10}$，将 $\cos \alpha =-\frac{1}{3}\sin \alpha$ 代入：

$3\sin \alpha -(-\frac{1}{3}\sin \alpha )=\sqrt{10}$

$\frac{10}{3}\sin \alpha =\sqrt{10}$

解得：$\sin \alpha =\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

这种方法跳过了繁琐的一元二次方程和判别式，直接利用了三角函数有界的性质，是数学之美的高度体现。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

本题是一道非常经典的三角函数基础题，重点考查了诱导公式、同角三角函数关系式以及二倍角公式的熟练运用。

• 易错点提示：在代入法解一元二次方程时，平方项的展开和合并极易出错，需要学生具备扎实的代数运算基本功。

• 复习建议：对于“已知正余弦的一次式，求正余弦的值”类问题，必须条件反射般地想到与“平方式等于1”进行联立。同时，对辅助角公式的敏感度（观察系数平方和与常数项的关系）有助于在考场上实现思维简化，节省大量计算时间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-上海卷理-06 填-象限角的三角函数值符号
• 2008-浙江卷文-12 填-诱导二倍角
• 2010-大纲卷II理-13