本题导读
本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于正弦定理与三角恒等变换结合法、余弦定理方程法（代数方程思想）的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2022年浙江卷） 在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，．已知 ，．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的面积．
🔍【思路分析】
破题导航
第（Ⅰ）问：已知边长比例 和角 的余弦值，求角 的正弦值。
直接利用同角三角函数关系求出 ，然后由正弦定理 即可轻松求出 。
第（Ⅱ）问：已知 ，求面积 。核心任务是求出边长 （或边长 ）。这里有两种截然不同的突破口：
思路一（三角函数法）：先求 。利用隐含条件“大边对大角”判断出 为锐角，从而求出 。通过 展开求得 ，再利用正弦定理求出 。
思路二（代数方程法 - 强烈推荐）：直接利用余弦定理 。将已知条件 和 代入，得到一个关于 的一元二次方程，解方程直接得出 的值。
✅【答案】
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，
✍【详细解析】
Abstract
因为在 中，，
所以角 为锐角，即 。
由同角三角函数的基本关系可得：
由正弦定理 ，变形可得：
因为已知条件为 ，即 ，代入上式得：
故 的值为 。
【解法一：正弦定理与三角恒等变换法】
由已知 ，得 。
因为 ，所以 。
根据三角形中“大边对大角”的性质，可知角 。
又因为 ，所以 （即 必为锐角，这是一个关键的防错点！）。
由（Ⅰ）知 ，所以：
在 中，，故 。
展开两角和的正弦公式：
代入已知数值：
再次由正弦定理 ，代入 求 ：
\frac{a}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{11}{\frac{11\sqrt{5}}{25}}$$$$a = \frac{11 \times \frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{11\sqrt{5}}{25}} = \frac{11\sqrt{5}}{5} \times \frac{25}{11\sqrt{5}} = 5
最后，利用三角形面积公式：
故 的面积为 。
【解法二：余弦定理方程法（快速求解法）】
已知 ，，且 。
根据余弦定理：
将上述条件全部代入：
化简该方程：
两边同乘 ：
移项整理为一元二次方程：
两边同除以 ：
十字相乘分解因式：
解得 或 （因为边长 ，故舍去负值）。
所以 。
最后，利用三角形面积公式：
故 的面积为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
考点提炼：解三角形核心考查正余弦定理的相互转化。第（Ⅰ）问是纯粹的“正弦定理+同角三角函数”；第（Ⅱ）问则考察了“知两边及一夹角（或一角的对边）”情况下的边角求解。
易错点提示（必须重视）：
在使用解法一求 时，千万不能想当然地认为 是锐角。由于 对于 都成立，必须通过严密的逻辑说明（因为 ，所以 ，且 已知为锐角）来推断 只能是锐角。
总结：对于出现边长比例关系的问题，优先考虑代数方程法建系求解，能够大幅度提升答题速度和正确率。
📖【试题探源与推广】
Tip
解三角形的核心策略：几何推导流 vs 代数方程流
在高考解三角形大题中，当已知“两边比例（或关系）及一角”求其他边角时，通常有两条核心路径，深刻理解它们的差异是拿满分的关键：
正弦定理 + 三角恒等变换（几何推导流，如解法一）
机制：顺着角度去求解，算出各角的正、余弦值，最后归结到边长。
痛点（多解陷阱）：已知正弦值求角时，会出现“一正对应两角（锐角或钝角）”的问题，即 。
应对方法：必须像本题一样，结合“大边对大角”定理（）或三角形内角和定理，严格判定角的取值范围。若论述不严密，极易被扣除步骤分。
余弦定理 + 构造一元二次方程（代数方程流，如解法二）
机制：余弦定理 天然就是一个优美的一元二次方程模型。
绝对优势：将边长关系代入方程后，解一元二次方程得出的边长正负性，会自动帮我们排除了不合理的解（边长必须大于0）。它完全避开了讨论角是钝角还是锐角的棘手陷阱！
考场实战口诀：
“求角多用余弦定理（符号直接定钝锐），求边多配代数方程（正负自动定取舍）。”
🔗【关联脉络】
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