2022-甲卷理-01 单-复数运算

本题导读

本题考查除法运算，以及共轭复数与模。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷理） 若 $z=-1+\sqrt{3}\text{i}$，则 $\frac{z}{z\bar{z}-1}=$ ()

A. $-1+\sqrt{3}\text{i}$　　　B. $-1-\sqrt{3}\text{i}$　　　C. $-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$　　　D. $-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$

🔍【思路分析】

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1. 观察待求式结构：分母中出现了 $z\bar{z}$。联想到复数的重要性质 $z\bar{z}=|z{|}^2$，这说明分母实际上是一个实数。

2. 计算复数的模：根据 $z=-1+\sqrt{3}\text{i}$，计算出 $|z{|}^2$ 的值并代入分母。

3. 整体化简：将分母化简为一个具体的实数后，再将分子 $z$ 展开，各项除以分母即得标准形式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 利用性质计算分母：

已知 $z=-1+\sqrt{3}\text{i}$．

根据复数与其共轭复数的乘积性质 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$：

$z\cdot \bar{z}=(-1{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2=1+3=4$

2. 代入原式化简：

将 $z\cdot \bar{z}=4$ 及 $z=-1+\sqrt{3}\text{i}$ 代入待求分式：

$\frac{z}{z\bar{z}-1}=\frac{-1+\sqrt{3}\text{i}}{4-1}$

3. 拆分实部与虚部：

$=\frac{-1+\sqrt{3}\text{i}}{3}=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}\text{i}$

4. 结论：

对应选项 C 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：牢记复数三大基本性质之一：$z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=a^2+b^2$。看到 $z\bar{z}$ 直接将其转化为模的平方，避免写出共轭复数后再去进行多项式展开，这是本题的提速关键。

• 规律总结：高考复数第 1 题往往会在分母上设置一些小机关，如果分母是纯实数（如本题），直接分离实虚部即可；如果分母包含虚数，则需要进行“分母实数化”（分子分母同乘共轭）。

• 避坑指南：

  • 在计算 $|z{|}^2$ 时，虚部是 $\sqrt{3}$ 而不是 $\sqrt{3}\text{i}$，因此平方和是 $1+3=4$，不要误减去 $3$（即不要误算成 $1-3=-2$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

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