2022-甲卷理-13 填-向量数量积

本题导读

本题考查定义与运算律，以及向量的模。

📌【题干】

Question

（2022年甲卷理） 设向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=3$，则 $(2\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{b}=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 准备基础量：根据数量积的定义 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$，利用题干给定的模长和夹角余弦值，先求出 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的值。

2. 展开目标式：利用向量数量积的分配律，将所求表达式 $(2\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{b}$ 展开为基本向量点乘的形式。

3. 代入求解：将 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 和 ${\vec{b}}^2$（即 $|\vec{b}{|}^2$）的值代入展开式中，进行简单的算术计算即可得出结果。

✅【答案】

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$11$

✍【详细解析】

Abstract

1. 计算两个基本数量积：

已知 $|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=3$，且 $\cos ⟨\vec{a},\vec{b}⟩=\frac{1}{3}$．

根据平面向量数量积的定义公式：

$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos ⟨\vec{a},\vec{b}⟩=1\times 3\times \frac{1}{3}=1$

同时，根据向量模的性质 ${\vec{v}}^2=|\vec{v}{|}^2$：

${\vec{b}}^2=|\vec{b}{|}^2=3^2=9$

2. 展开目标表达式并代入求值：

根据向量数量积的分配律展开：

(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$$$$= 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b}^2

3. 得出最终结果：

将第一步计算得到的数值代入上式：

$=2\times 1+9=11$

结论：

答案填入 $11$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：处理向量的线性组合乘积（如 $(m\vec{a}+n\vec{b})\cdot \vec{b}$）时，第一反应应是利用分配律展开，将复杂结构拆解为 $\vec{a}\cdot \vec{b}$，${\vec{a}}^2$，${\vec{b}}^2$ 这三个基础基底元素的运算。

• 规律总结：向量的平方等于其模的平方，即 ${\vec{x}}^2=|\vec{x}{|}^2$，这是向量代数化简中最常用的隐藏转换。

• 避坑指南：虽然题目极其基础，但一定要看清题目给的是“夹角的余弦值”而不是夹角本身，不要多此一举去求 $\cos ({\cos }^{-1}\frac{1}{3})$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2010-山东卷文-12 单-向量新定义运算