2023-上海卷-08 填-余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理，以及平方关系。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）已知 $△ABC$ 中，角 $A，B，C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $a=4，b=5，c=6$，则 $\sin A=$ ________．

🔍【思路分析】

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1. 定理选择：已知 $△ABC$ 的三边长求某角的三角函数值，首选余弦定理求出 $\cos A$。
2. 公式代入：套用余弦定理的变形结构 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 完成代数计算。
3. 边角转换：利用同角三角函数的平方关系 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 将余弦值转化为正弦值。由于 $A$ 为三角形内角，确定 $\sin A>0$ 从而排除负根。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{7}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用余弦定理求解 $\cos A$ 在 $△ABC$ 中，已知边长 $a=4,b=5,c=6$。 由余弦定理的变形公式可知： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

将已知数据代入该式中： $\cos A=\frac{5^2+6^2-4^2}{2\times 5\times 6}$ $\cos A=\frac{25+36-16}{60}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$

第二步：利用同角三角函数平方关系求解 $\sin A$ 因为 $A$ 为 $△ABC$ 的内角，所以 $A\in (0,\pi )$。 根据正弦函数在第一、二象限的符号特征，恒有 $\sin A>0$。

由平方关系 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 变形可得： $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

将 $\cos A=\frac{3}{4}$ 代入进行根式化简： $\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理在基本解三角形模型中的应用、同角三角函数平方式的符号判定。
2. 核心方法：公式解析法。
3. 避坑指南：

• 符号判定逻辑缺失：开方求解 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$ 时，在思维或解答步骤中必须明确体现“$A$ 为三角形内角，故 $\sin A>0$”这一几何约束律。虽然填空题直接取正可以得分，但在解答题中若缺少该判定会造成逻辑扣分。
• 分子减项混淆：应用余弦定理变形公式时，分子部分必须是“两夹边的平方和减去对边的平方”，切勿混淆三边代数位置导致算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题作为上海高考数学卷填空题中段的解三角形题，着重考查两组最基础核心公式的横向联立，不设几何陷阱，属于常规得分题。
2. 结论推广：在已知三角形三边长（$a,b,c$）的情况下，除使用余弦定理外，还可以直接利用 海伦公式（Heron’s formula） 绕开余弦值，一步求出三角形面积，进而求出正弦值。 设半周长 $p=\frac{a+b+c}{2}$，则面积 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。 在本题中： $p=\frac{4+5+6}{2}=\frac{15}{2}$ $S=\sqrt{\frac{15}{2}\times \left(\frac{15}{2}-4\right)\times \left(\frac{15}{2}-5\right)\times \left(\frac{15}{2}-6\right)}=\sqrt{\frac{15}{2}\times \frac{7}{2}\times \frac{5}{2}\times \frac{3}{2}}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$ 又由三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$，得： $\frac{1}{2}\times 5\times 6\times \sin A=\frac{15\sqrt{7}}{4}⟹15\sin A=\frac{15\sqrt{7}}{4}⟹\sin A=\frac{\sqrt{7}}{4}$ 该方法在三边长均为整型数据时，同样具备极高的稳健性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理