2015-新课标I卷理-16 填-正弦定理

本题导读

本题是 2015 年新课标 1 卷理科填空题的压轴题。通过给定四边形三个相等的内角及一边的长度，要求求解另一边 $AB$ 的取值范围。解题关键在于通过补形将四边形转化为大三角形及其内部的动态直线问题，利用正弦定理及极限思想锁定范围。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 在平面四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=\angle B=\angle C=75^{\circ }$，$BC=2$，则 $AB$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何补形：由于 $\angle A,\angle B,\angle C$ 均为 $75^{\circ }$，观察其互补或余角关系不明显，但通过延长 $BA,CD$ 交于点 $E$，可以构造出两个含有已知角的三角形：$△EBC$ 和 $△EAD$。
2. 确定角度关系：
   • 在 $△EBC$ 中，$\angle B=\angle C=75^{\circ }$，则顶角 $\angle E=180^{\circ }-75^{\circ }-75^{\circ }=30^{\circ }$。这是一个等腰三角形。
   • 在四边形中，$\angle BAE=180^{\circ }-\angle A=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$（注意此处是四边形内角 $A$ 的邻角）。
   • 在 $△EAD$ 中，$\angle E=30^{\circ }$，$\angle EAD=105^{\circ }$，则 $\angle ADE=180^{\circ }-30^{\circ }-105^{\circ }=45^{\circ }$。
3. 利用正弦定理求解边长：
   • 计算大三角形 $EBC$ 的边 $EB$。
   • 利用正弦定理建立 $△EAD$ 中 $EA$ 与 $AD$（或 $ED$）的关系。
4. 极限思维判定范围：
   • 当点 $D$ 靠近点 $C$ 时，$AB$ 趋于最小值。
   • 当点 $A$ 靠近点 $E$ 时，$AB$ 趋于最大值。

✅【答案】

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$(\sqrt{6}-\sqrt{2},\sqrt{6}+\sqrt{2})$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：补全三角形并确定角度


如图，延长 $BA$ 与 $CD$ 交于点 $E$。 在 $△EBC$ 中，$\angle B=\angle C=75^{\circ }$，所以 $\angle E=180^{\circ }-75^{\circ }-75^{\circ }=30^{\circ }$。 在该等腰三角形中，由正弦定理： $\frac{EB}{\sin 75^{\circ }}=\frac{BC}{\sin 30^{\circ }}⟹EB=\frac{2\sin 75^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$。

第二步：分析内部三角形 $△EAD$

在 $△EAD$ 中，$\angle E=30^{\circ }$。 由于四边形内角 $\angle DAB=75^{\circ }$，其邻角 $\angle EAD=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }$。 则 $\angle EDA=180^{\circ }-30^{\circ }-105^{\circ }=45^{\circ }$。 设 $AD=x$。由正弦定理得： $\frac{EA}{\sin 45^{\circ }}=\frac{x}{\sin 30^{\circ }}⟹EA=\frac{x\sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}x$。 $\frac{ED}{\sin 105^{\circ }}=\frac{x}{\sin 30^{\circ }}⟹ED=\frac{x\sin 105^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{x\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}x$。

第三步：建立 $AB$ 的表达式

$AB=EB-EA=(\sqrt{6}+\sqrt{2})-\sqrt{2}x$。 同时受限于点 $D$ 在线段 $EC$ 上，即 $0<ED<EC$： $0<\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}x<\sqrt{6}+\sqrt{2}$ 解得 $0<x<2$。

第四步：确定范围

1. 当 $x\to 2$ 时（即点 $D$ 靠近 $C$），$AB\to (\sqrt{6}+\sqrt{2})-2\sqrt{2}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
2. 当 $x\to 0$ 时（即点 $A,D$ 靠近 $E$），$AB\to \sqrt{6}+\sqrt{2}$。 故 $AB$ 的取值范围是 $(\sqrt{6}-\sqrt{2},\sqrt{6}+\sqrt{2})$。

最终答案为：$(\sqrt{6}-\sqrt{2},\sqrt{6}+\sqrt{2})$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 补形意识：当四边形已知角较多且具有对称性或互补潜力时，补全为三角形是常用的降维打击方法。
2. 特殊角的处理：$75^{\circ }$ 和 $105^{\circ }$ 的正弦值分别为 $\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{4}$，这是高考常考的数值，应熟练掌握。
3. 动态范围分析：在确定范围时，利用一个动点在轨迹上的端点位置（极限情况）来确定目标量的边界，比直接解不等式更直观。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于此类固定三内角的四边形问题，其对边长度往往满足线性关系。若 $\angle B,\angle C$ 为底角，$\angle A$ 决定了切割线的斜率。
• 方法推广:
  • 投影法：在水平方向 $BC$ 和垂直方向上分别建立投影等式（如 $AB\cos \angle B+\dots$），联立方程求解。
• 相关知识点:

  • - **正弦定理**：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。
    

  • 两角和公式：$\sin (45^{\circ }+60^{\circ })$ 计算 $105^{\circ }$ 的函数值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

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• 18.09 阿基米德三角形

类题演练(Links)

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