∑ ( Math )

🧮数学工具箱手写公式转 Markdown

2023-乙卷文-06 单-平面向量数量积

6 min read

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算，以及平面向量的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷文）已知正方形 的边长为 2， 为 的中点，则 （ ）

A. 　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

  1. 分析几何图形结构：由于图形为正方形，各边相互垂直且长度已知，具备极佳的建系或找基底的条件。
  2. 选择解题路径：
  • 方法一（坐标法）：以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系。写出各个顶点的坐标，进而求出向量 和 的坐标表示，直接代入数量积的坐标公式计算。
  • 方法二（基底法）：选择两个相互垂直的向量 和 作为一组基底。将 与 均用基底线性表示，根据数量积的分配律展开，利用 简化计算。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：平面直角坐标系法（最优解） 以点 为坐标原点，射线 方向为 轴正方向，射线 方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系。

因为正方形 的边长为 2，且 为 的中点， 所以各点的坐标分别为：

由此可得两个向量的坐标表示形式：

根据平面向量数量积的坐标运算公式 ，计算得：

故选：B。

解法二：基底转化法 选择 和 作为一组基底，由正方形性质可知 ，即 。 因为边长为 2 且 为中点，所以 ，。

将目标向量用基底进行线性拆解：

根据数量积的分配律及平方差公式展开：

代入向量的模长得：

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

  1. 核心考点：平面向量数量积的坐标运算、向量的几何线性表示。
  2. 核心方法：建系坐标法。凡是遇到正方形、长方形、直角梯形等内部蕴含垂直关系的几何图形，优先考虑通过建系转化为代数坐标运算，能有效避免几何视角的繁琐推导。
  3. 避坑指南：
  • 坐标计算错误：写向量坐标时，注意是“后点减前点”（终点坐标减去起点坐标），防止将 误写为 。
  • 基底拆分符号错误：在解法二中，注意 ，而 ，方向相反时切勿漏掉负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

  1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中平面向量数量积的坐标表示课后练习。属于高考中经典的低阶常规工具题。
  2. 结论推广：
  • 一般化矩形模型：设矩形（或正方形） 的边长 。若点 在边 上，且满足 ，求 的值。
  • 推广公式：通过建系可得 ，则 ，。
  • 展开数量积满足：。
  • 本题中 ，且 为中点即 。代入推广公式验证：。该通用公式可直接解决此类在一边上滑动动点的数量积最值或定值问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

类题演练 (Links)

Backlinks