2023-乙卷文-09 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷文）某学校举办作文比赛，共设 6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文。则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为（ ）

A. $\frac{5}{6}$　　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算总基本事件数：甲、乙两人分别独立从 6 个主题中抽取 1 个，每人都有 6 种选择。根据分步乘法计数原理，总的选择组合数为 $6\times 6=36$ 种。
2. 分析目标事件（不同主题）：

• 方法一（直接分步）：先让甲在 6 个主题中任选 1 个（有 6 种选法），乙为了与甲抽到不同的主题，只能在剩下的 5 个主题中任选 1 个（有 5 种选法），目标事件数为 $6\times 5=30$ 种。
• 方法二（对立事件）：“抽到不同主题”的对立事件为“抽到相同主题”。两人选择相同主题的情况只有 6 种。利用 $1-P(\text{相同})$ 即可求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设事件 $A$ 为“甲、乙两位同学抽到不同主题”。

解法一：对立事件法（最优解） 事件 $A$ 的对立事件 $\overline{A}$ 为“甲、乙两位同学抽到相同主题”。 甲、乙两名同学每人随机抽取 1 个主题，基本事件总数为： $N=6\times 6=36\text{ 种}$

若甲、乙两人抽到相同的主题，由于共有 6 个主题，因此相同的情况只有 6 种（即都抽到第一个主题、都抽到第二个主题……）。 所以抽到相同主题的概率为： $P(\overline{A})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

根据对立事件的概率性质，甲、乙两位同学抽到不同主题的概率为： $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

故选：A。

解法二：分步计数法（直接法） 基本事件总数 $N=6\times 6=36$ 种。 要使甲、乙两位同学抽到不同的主题： 第一步，甲从 6 个主题中随机抽取 1 个，有 6 种抽法； 第二步，乙从剩下的 5 个不同的主题中随机抽取 1 个，有 5 种抽法。 根据分步乘法计数原理，抽到不同主题的基本事件数为： $m=6\times 5=30\text{ 种}$

因此，甲、乙两位同学抽到不同主题的概率为： $P(A)=\frac{m}{N}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型计算、分步乘法计数原理、对立事件公式应用。
2. 核心方法：正难则反思想（对立事件法）。当正面分类或列举计数较多时，通过先求其对立事件的概率再用 1 作减法，能够简化运算。
3. 避坑指南：

• 样本空间总数算错：容易将总抽法误计为组合数 $C_6^2=15$。由于甲、乙是两个独立的个体，抽签结果是有序对 $(x,y)$，属于可重复的排列问题。
• 分步与分类混淆：计算总数时应为分步做功，即 $6\times 6$，防止误算为分类加法 $6+6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第九章《统计与概率》中古典概型的基本摸球与分球模型。与“两名同学随机去 3 个不同的景点旅游”、“掷两枚骰子点数不同”等经典习题的数学本质完全一致。
2. 结论推广：

• 一般化概率模型：若有 $n$ 个完全不同的元素， $m$ 个人（ $m\le n$ ）每人随机、独立且可重复地选择其中 1 个元素。则这 $m$ 个人所选元素互不相同的概率为： $P=\frac{A_n^m}{n^m}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{n^m}$
• 本题中 $n=6,m=2$，代入该通用公式可直接求得：$P=\frac{A_6^2}{6^2}=\frac{6\times 5}{36}=\frac{30}{36}=\frac{5}{6}$。该模型是概率论中解决分配、碰撞及著名的“生日悖论”的基础数学结构。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2000-新课标理-17 解-古典概型
• 2001-上海卷理-09 填-古典概型与排列组合
• 2004-广东卷理-13 填-古典概型及其概率计算公式