2007-辽宁卷理-09 单-互斥事件对立事件概率

本题导读

本题考查古典概型的组合计数问题。核心在于在限定总球数和颜色属性的前提下，精准圈定符合“全部是红球”且“至少有一个偶数”的双重条件约束的点数方案数。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 一个坛子里有编号为 $1,2,\cdots ,12$ 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率为()

A. $\frac{1}{22}$　　　　　　B. $\frac{1}{11}$　　　　　　C. $\frac{3}{22}$　　　　　　D. $\frac{2}{11}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算基本事件总数（全集分母）：从 12 个球中任取 2 个球，总组合数为 $N={\text{C}}_{12}^2$。
2. 界定分子事件的约束：

• 条件一：抽到的 2 个球全为红球。这意味着这两个球必须只能从 1 到 6 号红球中挑选。
• 条件二：这 2 个红球中至少有一个偶数。

3. 计算符合条件的分子数（间接法最快）：

• 1 到 6 号红球中， 奇数号有：1, 3, 5（共 3 个）； 偶数号有：2, 4, 6（共 3 个）。

• 全取红球的总组合数为 ${\text{C}}_6^2$。

• 运用对立事件思想：“至少有 1 个偶数”的对立面是“两个全为奇数”。全取奇数红球的组合数为 ${\text{C}}_3^2$。

• 用总红球组合数减去全奇数组合数， 即得分子方案数。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：从坛子里的 12 个球中任意取出 2 个球， 所有的基本事件总数（分母项）为： $N={\text{C}}_{12}^2=\frac{12\times 11}{2\times 1}=66\text{ 种}$

设目标事件为“取到的都是红球， 且至少有 1 个球的号码是偶数”。 1 到 6 号这 6 个红球中， 奇数和偶数的分布情况如下：

• 奇数红球有 3 个： 1号， 3号， 5号；
• 偶数红球有 3 个： 2号， 4号， 6号。

我们采用**间接法（对立事件法）**来计算符合目标事件的分子方案数 $m$：

• 从 6 个红球中任取 2 个球的全取红球组合数为： ${\text{C}}_6^2=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$ 种；
• 其中， 两个球“全为奇数号红球”的组合数为： ${\text{C}}_3^2=3$ 种。

用总的红球方案数减去全为奇数号的方案数， 即可得到“全为红球且至少含有一个偶数号”的合法方案数： $m={\text{C}}_6^2-{\text{C}}_3^2=15-3=12\text{ 种}$

根据古典概型概率计算公式， 目标事件发生的概率为： $P=\frac{m}{N}=\frac{12}{66}=\frac{2}{11}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型组合数公式、正难则反的“至少”问题处理方案。
2. 核心方法：全集减去对立面法（间接法）。
3. 避坑指南：

• 凡是看到“至少有一个”这种字眼，大脑要自动拉响警报，第一反应优先考虑“正难则反”的间接法。用全红球的 15 种可能， 减去全是奇数红球的 3 种可能， 得到 12 种， 比直接分类讨论（一奇一偶、两偶）去相加计算更不容易漏项， 准确率更高。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型与组合数计数、互斥事件与对立事件概率是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是古典概型与组合数计数、互斥事件与对立事件概率的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用对立事件转换法（间接法）、直接分类计数法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-08 单-古典概型至少
• 2013-安徽卷文-05 单-古典概型录用
• 2023-乙卷文-09 单-古典概型