2007-重庆卷理-06 单-互斥事件对立事件

本题导读

本题考查古典概型的概率计算。题目要求取出 3 张门票中“至少有 2 张价格相同”的概率，由于“至少”一词具有明显的向外发散性，直接分类较为繁琐，采用“对立事件法（全集减去3张价格互不相同）”可以成倍提高解题效率。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张，则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　B. $\frac{79}{120}$　　　　　　C. $\frac{3}{4}$　　　　　　D. $\frac{23}{24}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算总的选票组合数：总票数共有 $5+3+2=10$ 张。任取 3 张的总组合数为 ${\text{C}}_{10}^3$。
2. 转换对立事件：

• 目标事件 $A$: “取出的 3 张中至少有 2 张价格相同”。
• 其对立事件 $\overline{A}$: “取出的 3 张门票价格互不相同”（即 100元、200元、300元的门票各被精准抽中 1 张）。

3. 计算对立事件概率并求反：利用分步乘法原理计算价格互不相同的情况数 ${\text{C}}_5^1\cdot {\text{C}}_3^1\cdot {\text{C}}_2^1$，用 1 减去该对立概率即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：本题门票总数合计为 $5+3+2=10$ 张。 从这 10 张门票中随机任意抽取 3 张， 对应的所有可能组合数分母为： $\Omega ={\text{C}}_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120\text{ 种}$

设目标事件为 $A$: “所取的 3 张中至少有 2 张价格相同”。 分析其对立事件 $\overline{A}$: “所取的 3 张门票价格两两互不相同”。 也就是说， 抽出来的 3 张票， 必须在 100 元、200 元、300 元三种面额里各恰好选中 1 张。 根据分步计数乘法原理， 触发对立事件 $\overline{A}$ 的组合方案数为： $m={\text{C}}_5^1\times {\text{C}}_3^1\times {\text{C}}_2^1=5\times 3\times 2=30\text{ 种}$

因此， 对立事件 $\overline{A}$ 发生的古典概率为： $P(\overline{A})=\frac{m}{\Omega }=\frac{30}{120}=\frac{1}{4}$

根据对立事件的概率恒等式， 目标事件 $A$ 发生的绝对概率为： $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型组合数的阶乘化简、“至少”受限条件向“互不相同”对立面思想的转换。
2. 核心方法：对立事件法。
3. 避坑指南：

• 看到“至少”二字，骨子里必须第一反应触发“正难则反”的对立事件思维。如果去正面硬算“刚好2张相同”加上“3张全相同”，需要拆分成好几种分支（如两张100一张200、两张100一张300、三张100……等共 7 种互斥形态），极为繁琐且在考场上极易漏项。使用对立事件只需 10 秒即可秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型与组合数计数、互斥事件与对立事件是重庆卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是古典概型与组合数计数、互斥事件与对立事件的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用间接排除法（对立事件法）、分类穷举法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-08 单-古典概型至少
• 2013-安徽卷文-05 单-古典概型录用
• 2023-乙卷文-09 单-古典概型