2023-乙卷理-08 单-圆锥体积

本题导读

本题考查圆锥的体积，以及正弦定理与余弦定理。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷理）已知圆锥$PO$的底面半径为$\sqrt{3}$，$O$为底面圆心，$PA，PB$为圆锥的母线，$\angle AOB=120^{\circ }$，若$△PAB$的面积等于$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，则该圆锥的体积为（    ）

A. $\pi$　　　　　　　B. $\sqrt{6}\pi$　　　　　　　C. $3\pi$　　　　　　　D. $3\sqrt{6}\pi$

🔍【思路分析】

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根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.

✅【答案】

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$B$

✍【详细解析】

Abstract

在$△AOB$中，$\angle AOB={120}^{\circ }$，

而$OA=OB=\sqrt{3}$，取$AB$中点$C$，连接$OC,PC$，

有$OC\perp AB,PC\perp AB$，如图， $\angle ABO={30}^{\circ }$，

$OC=\frac{\sqrt{3}}{2},AB=2BC=3$，

由$△PAB$的面积为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，

得$\frac{1}{2}\times 3\times PC=\frac{9\sqrt{3}}{4}$，

解得$PC=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，

于是$PO=\sqrt{P{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{{(\frac{3\sqrt{3}}{2})}^2-{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^2}=\sqrt{6}$，

所以圆锥的体积$V=\frac{1}{3}\pi \times O{A}^2\times PO=\frac{1}{3}\pi \times {(\sqrt{3})}^2\times \sqrt{6}=\sqrt{6}\pi$.

故选：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥高垂直底面的隐性充要条件、三垂线定理在侧面斜高定位中的级联应用、旋转体体积高精度数值计算。
2. 核心方法：空间几何三维割补法、数形结合转换法。
3. 避坑指南：

• 错误地将 $△PAB$ 的面积当成轴截面面积：部分考生审题不细，看到面积就直接套用 $\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot H$。必须明确， $△PAB$ 是圆锥内部的一块倾斜截面，其底边是底面圆的一条弦 $AB$（长度为 3），而不是底面直径 $2R$（长度为 $2\sqrt{3}$），高是斜高 $PC$ 而不是圆锥高 $PO$。
• 底面解等腰三角形时边角比例算错：在顶角为 $120^{\circ }$ 的 $△AOB$ 中，各边满足固有的 $1:\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}$ 射影关系。草稿纸上点数时要心细，防止把 $OC$ 和 $AC$ 的位置或数值搞反，导致全盘皆输。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学的第八题，属于典型的立体几何多面体度量选择题。母题模型根植于人教A版教材《必修第二册》第八章“空间几何体的表面积与体积”章节中的旋转体计算。命题立意精巧，将纯粹的公式套用上升为考查考生通过“空间垂直关系的转化”求出隐藏高的代数逻辑推演能力。
2. 结论推广： 在相关理论框架下，本题的结构属于一种非常经典的**“圆锥内割动三角形控制体积不变量模型”**。 更一般地，设圆锥的底面半径为 $R$，其内含的一个动截面 $△PAB$ 对应的底面圆心角为 $\theta (0<\theta <\pi )$。若已知 $△PAB$ 的面积为 $S_0$。 按照完全相同的几何平移与勾股定理外推，可以导出该圆锥体积 $V$ 的一个刚性显化代数通式： $V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot \sqrt{\frac{4S_0^2}{4R^2{\sin }^2\frac{\theta }{2}}-R^2{\cos }^2\frac{\theta }{2}}$

在本题中，底面半径 $R=\sqrt{3}$，圆心角 $\theta =120^{\circ }⟹\frac{\theta }{2}=60^{\circ }$，已知面积 $S_0=\frac{9\sqrt{3}}{4}$。我们直接套用该推广通式进行快速校验：

• 弦长项： $2R\sin 60^{\circ }=2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3$ （即 $AB=3$）
• 心距项： $R\cos 60^{\circ }=\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ （即 $OC=\frac{\sqrt{3}}{2}$）
• 根式内部： $\frac{4\times \frac{243}{16}}{9}-\frac{3}{4}=\frac{27}{4}-\frac{3}{4}=6$
• 最终体积： $V=\frac{1}{3}\pi \times 3\times \sqrt{6}=\sqrt{6}\pi$。 内化这一通用的内割面体积控制模型，不仅能帮助考生在面对任何多参量变动的立体几何填空压轴题时实现零失误验证，更深刻地揭示了旋转对称性在空间代数式中的守恒映射。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理