本题导读
本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的性质（下标积定理与降幂。
📌【题干】
Question
（2023年乙卷理）已知 为等比数列，，，则 ________．
🔍【思路分析】
破题导航
化简乘积等式：利用等比数列通项公式 ，将 转化为关于 和 的最简关系式。
利用下标性质：观察下标的和，左边 ，右边 ，差值为 ，说明化简后剩余项的次数与此相关。
处理已知数值条件：将 利用第一步得到的“积为定值”或“乘积关系”进行整体代换，求出 的相关幂次值。
计算目标项：将 用已知量表示并求解。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
1. 化简第一个条件：
设等比数列 的首项为 ，公比为 ()．
根据 ，代入 ：
(a_1 q) \cdot (a_1 q^3) \cdot (a_1 q^4) = (a_1 q^2) \cdot (a_1 q^5)$$$$a_1^3 q^{1+3+4} = a_1^2 q^{2+5}$$$$a_1^3 q^8 = a_1^2 q^7
因为数列各项非零（乘积为 ），两边约去 ，得：
即 ．
2. 利用第二个条件求解 的幂值：
已知 ．
将项用 表示：
(a_1 q^8)(a_1 q^9) = -8$$$$a_1^2 q^{17} = -8
利用 进行整体分离：
(a_1 q)^2 \cdot q^{15} = -8$$$$1^2 \cdot q^{15} = -8$$$$q^{15} = -8
3. 求解目标项 ：
代入 ：
由 ，得：
开立方得：
故 ．
结论：
答案填入 ．
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：等比通项指数严格满足减 1 律（）、利用已知乘积定值对两元高次多项式实施消项隔离、高阶实数幂方程的整体结构开方。
- 核心方法：基本量展开法、结构整体代换法（不需求出单个字母变量的经典范式）。
- 避坑指南：
- 指数运算法则记忆模糊（常见翻车点）：在展开条件二 时，部分考生容易犯 的低级代数错误。务必牢记同底数幂相乘**“指数相加”**： 。
- 陷入非要求出公比 的偏执死胡同：算到 时，个别考生试图强行解出 ，由于数值极度不常规，直接卡死在此处。一定要看清目标的结构！目标要的是 ，而 正好是 的 倍，通过整体开方思维直接跨越具体变量，是解析几何与代数压轴题的通用最高心法。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学填空题的第三题（第15题），属于典型的考查数列性质与初等代数复合变形能力的中档题。母题模型根植于人教A版教材《选择性必修第二册》第四章“等比数列的通项”课后的指数综合变形训练。命题意图非常清晰，旨在考查考生对代数式“整体把握”的灵动性，避免死板的机械化代入。
- 结论推广： 在离散动力系统与几何级数中，本题可以推广为一个通用的**“两端非对称项积控制通项定理”： 设 为等比数列，若其项积满足控制方程 。 按照完全相同的通项分解法，只要左右项数差为 （即 ），则数列中必存在一个确定的基础核心特征项**满足常数不变量特征： 在本题中， 。直接套用该推广结论快速验证： 特征项下标为： 。 故直接直接得出： 。
若第二个条件给出 ，要求解目标项 。只要下标满足刚性线性比例 ，即可通过完全相同的立方重组公式，无需任何草稿演算，直接输出答案： 。 在本题中， ；而目标项 。比例吻合，故直接快速输出： 。内化这一性质模型，可以让考生在后续面对任何变形的等比数列选择填空题时，自发洞穿数字底层的对称迷雾，实现快速求解。
🔗【关联脉络】
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