2023-乙卷理-16 填-单调性参数范围

本题导读

本题考查单调性的判定与参数范围，以及对数函数与指数函数的性质。

📌【题干】

Question

（2023年乙卷理）设 $a\in (0,1)$，若函数 $f(x)=a^x+(1+a{)}^x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是 ________．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化单调性条件：函数在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，等价于导函数 $f^{\prime }(x)⩾0$ 在该区间恒成立。

2. 求导并变形：计算 $f^{\prime }(x)$，得到关于 $a^x$ 和 $(1+a{)}^x$ 的不等式。将其整理为 $(\frac{1+a}{a}{)}^x⩾\text{常数}$ 的形式。

3. 分析值域与边界：由于 $x>0$ 且底数 $\frac{1+a}{a}>1$，指数函数单调递增，其值域下界（极限位置）为 $x\to 0$ 时的值 $1$。

4. 解关于 $a$ 的不等式：建立关于 $a$ 的对数不等式，利用单调性去对数，转化为代数不等式求解。

✅【答案】

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$[\frac{\sqrt{5}-1}{2},1)$

✍【详细解析】

Abstract

1. 求导并建立不等式：

函数 $f(x)=a^x+(1+a{)}^x$．

求导得：$f^{\prime }(x)=a^x\ln a+(1+a{)}^x\ln (1+a)$．

若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，则 $f^{\prime }(x)⩾0$ 对任意 $x>0$ 恒成立．

即：$(1+a{)}^x\ln (1+a)⩾-a^x\ln a$．

2. 分离变量与常数：

整理得：$\frac{(1+a{)}^x}{a^x}⩾\frac{-\ln a}{\ln (1+a)}$．

即 ${\left(\frac{1+a}{a}\right)}^x⩾-\frac{\ln a}{\ln (1+a)}$．

3. 分析函数性质与边界条件：

令 $g(x)={\left(\frac{1+a}{a}\right)}^x$．

因为 $a\in (0,1)$，所以 $1+a>1$，$\frac{1+a}{a}=1+\frac{1}{a}>2$．

故 $g(x)$ 是关于 $x$ 的增函数．

当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$g(x)>g(0)=1$．

要使不等式 $g(x)⩾-\frac{\ln a}{\ln (1+a)}$ 在 $x>0$ 上恒成立，只需右边的常数小于或等于 $g(x)$ 的下确界 $1$．

即：$1⩾-\frac{\ln a}{\ln (1+a)}$．

4. 解对数不等式：

由于 $a\in (0,1)$，则 $1+a>1$，故 $\ln (1+a)>0$．

不等式两边同乘 $\ln (1+a)$：

$\ln (1+a)⩾-\ln a=\ln (\frac{1}{a})$．

根据对数函数的单调递增性质：

$1+a⩾\frac{1}{a}$．

5. 解代数不等式：

因为 $a>0$，两边同乘 $a$：

$a(1+a)⩾1⟹a^2+a-1⩾0$．

对应方程 $a^2+a-1=0$ 的根为 $a=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$．

由二次不等式解得 $a⩽\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$ 或 $a⩾\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

6. 结合定义域得出结论：

结合已知条件 $a\in (0,1)$，

$a$ 的取值范围为 $[\frac{\sqrt{5}-1}{2},1)$．

解法二：由题可得$f^{\prime }\left(x\right)=a^x\ln a+{\left(1+a\right)}^x\ln \left(1+a\right)\ge 0$

在区间$\left(0,+\infty \right)$上恒成立，

则${\left(1+a\right)}^x\ln \left(1+a\right)\ge -a^x\ln a$，

即${\left(\frac{1+a}{a}\right)}^x\ge -\frac{\ln a}{\ln \left(1+a\right)}$，

$a\in \left(0,1\right)\frac{1+a}{a}>2$，

故$x\ge {\log }_{\frac{1+a}{a}}(-\frac{\ln a}{\ln \left(1+a\right)})$

在区间$\left(0,+\infty \right)$上恒成立.

故${\log }_{\frac{1+a}{a}}(-\frac{\ln a}{\ln \left(1+a\right)})\le 0$，

故$-\frac{\ln a}{\ln \left(1+a\right)}\le 1$,

即\left\{\begin{array}{*{35}{l}}\ln \left( a+1 \right)\ge -\ln a\\0<a<1\\\end{array}\right.，

即\left\{\begin{array}{*{35}{l}}a\left( a+1 \right)\ge 1\\0<a<1\\\end{array}\right.，

故$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\le a<1$，

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数控制单调性等式向非负恒成立的映射推演、利用基底齐次指数化消除多变量交织的参变分离技术、连续开区间边界端点处的下确界极值筛选。
2. 核心方法：一阶导数恒成立法、对数方程脱壳转换法。
3. 避坑指南：

• 对数项符号反向判断失误导致不等号崩盘（高频丢分点）：在第一步向第二步平移化简时，涉及多项式 $-\ln a$。大量考生因为看到前面带有负号，就想当然地认为这是一个负项，因而在作除法或移项时盲目翻转了不等号的方向。务必极度警惕：由于已知给定 $a\in (0,1)$，其原声对数值 $\ln a$ 自身就是一个负数！因此其相反数 $-\ln a$ 实际上是一个货真价实的严格正数！在处理含参对数时，必须在草稿纸上优先标定正负属性，保驾护航。
• 误认为单调递增导数必须严格大于 0 从而丢掉左端等号：部分考生认为在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，导数就必须满足 $f^{\prime }(x)>0$，从而在最后给答案时写成了开区间 $\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2},1\right)$。牢记：函数在区间内单调递增的充要条件是 $f^{\prime }(x)⩾0$ 恒成立，且导数不恒为 0。本题的临界值是由 $x\to 0$ 这一无法取到的开边界处的极限值（下确界）贡献的，常数项是可以与下确界 $1$ 严格相等的，故必须带上闭区间等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是2023年全国乙卷理科数学填空题的压轴大题（第16题），作为全卷填空题的收官之作，具有极其强烈的选拔与分流功能。母题模型根植于人教A版教材《选择性必修第二册》第二章“导数在研究函数单调性中的应用”课后的综合探究大题。命题立意平和而高远，脱离了常规压轴题中繁琐隐零点或高难度双变量构造，纯粹通过指数与对数的底层不变量性质，测试考生对恒成立边界控制这一核心微积分思想的掌控精度。
2. 结论推广： 在相关理论框架下，本题最终解出的常数边界 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$ 正是自然界中最著名的黄金分割比（Golden Ratio）的倒数形式。这一巧合深刻揭示了指数增长链在初阶平移下的拓扑对称美。 更一般地，我们可以将本题的函数构型推广为一个完备的“齐次对偶指数单调控制中心定理”： 设函数模型为 $g(x)=a^x+(A+a{)}^x(A>0)$。若限制该函数在正半轴 $(0,+\infty )$ 上表现为严格单调递增。 按照完全相同的参变分离与下确界极值推导，其参数 $a$ 的左边界阻尼值，恒表现为由如下刚性齐次幂多项式方程的实根所决定的不变量特征： $a^2+A\cdot a-A=0$

本题中，常数系数 $A=1$。直接套用此推广方程模型： $a^2+a-1=0⟹a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。 掌握这一通用的对偶增量指数模型，不仅可以帮助考生在未来的模拟考试或高考中，面对任何变系数的同类导数压轴题（如将 $1+a$ 改为 $2+a$ 等）时实现零草稿、零算量快速求解，更深刻地展现了微积分在解构超越函数边界时所蕴含的简洁与完备。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-广东卷理-20 解-函数值域最值
• 2008-湖北卷理-07
• 2013-四川卷理-10 单-单调性