2023-北京卷-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的几何意义，以及共轭复数的概念。

📌【题干】

Question

（2023年北京卷）在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(-1,\sqrt{3})$，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}=$ (　　)

A. $1+\sqrt{3}\text{i}$　　　　　B. $1-\sqrt{3}\text{i}$　　　　　C. $-1+\sqrt{3}\text{i}$　　　　　D. $-1-\sqrt{3}\text{i}$

🔍【思路分析】

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识别知识点：本题考查复数的几何意义（复平面上的点与复数的一一对应关系）以及共轭复数的定义。

几何向代数转换：由已知点的坐标 $(a,b)$，可以直接写出对应复数的代数形式 $z=a+b\text{i}$。

求共轭复数：根据共轭复数定义，保持实部不变，将虚部取相反数即可得到 $\bar{z}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解析

第一步：利用复数的几何意义求 $z$。

已知复数 $z$ 在复平面内对应的点坐标为 $(-1,\sqrt{3})$。

根据复数 $z=a+b\text{i}$ 与点 $(a,b)$ 的对应关系，可得该复数的实部 $a=-1$，虚部 $b=\sqrt{3}$。

所以，复数 $z=-1+\sqrt{3}\text{i}$。

第二步：利用定义求共轭复数 $\bar{z}$。

根据共轭复数的定义，复数 $z=a+b\text{i}$ 的共轭复数为 $\bar{z}=a-b\text{i}$。

将实部保持不变（仍为 $-1$），虚部取相反数（由 $\sqrt{3}$ 变为 $-\sqrt{3}$）。

可得：$\bar{z}=-1-\sqrt{3}\text{i}$。

结论：

对应选项 D 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数形式 $z=a+b\text{i}$ 与复平面点 $Z(a,b)$ 的双向映射、共轭复数的运算规则。
2. 核心方法：数形结合法（几何向代数转换）、保实变虚法（求共轭）。
3. 避坑指南：

• 混淆概念错选 C：此类送分题最常见的失分原因在于审题不全。部分学生在第一步推导出 $z=-1+\sqrt{3}\text{i}$ 后，未能注意到题目最终求的是“共轭复数 $\bar{z}$”，直接错选 C。
• 错误变换实部符号：极少数学生可能会将共轭复数（关于实轴对称： $a+b\text{i}\to a-b\text{i}$）与相反数（关于原点对称： $a+b\text{i}\to -a-b\text{i}$）相混淆，导致实部虚部符号一起改变。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考中稳定的高频基础考点。由于复数通常设置在选择题前两题，难度定位较低，主要考查学生对《普通高中数学课程标准》中复数几何特征与核心运算概念的记忆和识别。
2. 结论推广：在复平面中，若复数 $z$ 对应的点位于第 $n$ 象限，其共轭复数 $\bar{z}$ 对应的点必然由于关于实轴对称的几何特征，转移至对应的对称象限：

• $z$ 在第一象限 $⟺\bar{z}$ 在第四象限；
• $z$ 在第二象限 $⟺\bar{z}$ 在第三象限（如本题模型，由第二象限点 $(-1,\sqrt{3})$ 转移至第三象限点 $(-1,-\sqrt{3})$）。 利用这种“象限对称律”，考生可以在考场上实现快速求解或者快速定性检验答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2014-江西卷理-01 单-共轭复数