2023-天津卷-01 单-集合运算

本题导读

本题考查补集，以及并集运算。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）已知集合 $U=\{1,2,3,4,5\}$，$A=\{1,3\}$，$B=\{1,2,4\}$，则 ${\complement }_{U}B\cup A=($　$)$

A. $\{1,3,5\}$　　　B. $\{1,3\}$　　　C. $\{1,2,4\}$　　　D. $\{1,2,4,5\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求补集： 首先根据全集 $U$ 和集合 $B$，确定 $B$ 在 $U$ 中的补集 ${\complement }_{U}B$，即找出属于 $U$ 但不属于 $B$ 的元素。

2. 求并集： 将得到的补集 ${\complement }_{U}B$ 与集合 $A$ 进行并集运算，合并所有元素并去重。

3. 快捷验证（排除法）： 观察选项中的关键元素，如 $3\in A$ 则最终结果必含 $3$；$5\in U$ 且 $5\notin B$，则 $5\in {\complement }_{U}B$，最终结果必含 $5$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解法一：定义运算法

1. 求 ${\complement }_{U}B$：

   已知 $U=\{1,2,3,4,5\}$，$B=\{1,2,4\}$。

   属于 $U$ 但不属于 $B$ 的元素有 $3,5$。

   故 ${\complement }_{U}B=\{3,5\}$。

2. 求并集：

   已知 $A=\{1,3\}$。

   则 ${\complement }_{U}B\cup A=\{3,5\}\cup \{1,3\}=\{1,3,5\}$。

   故选：A。

解法二：排除法

1. 因为 $3\in A$，所以 $3$ 必然属于并集 ${\complement }_{U}B\cup A$，由此可排除 C 选项和 D 选项。

2. 因为 $5\in U$ 且 $5\notin B$，所以 $5\in {\complement }_{U}B$，由此可知 $5$ 必然属于并集 ${\complement }_{U}B\cup A$，排除 B 选项。

   综上所述，只有 A 选项符合。

   故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有限数集内补集概念的排他性规则、并集运算中元素“并入”与“去重”的性质。
2. 核心方法：离散元素分步求值法、关键特征元素排除法。
3. 避坑指南：

• 符号看反导致错选：考场上极易将并集符号（$\cup$）与交集符号（$\cap$）混淆。若本题误算为交集 ${\complement }_{U}B\cap A$，则结果为 $\{3\}$，虽无此选项，但在复杂题中极易翻车。
• 计数漏掉全集边缘项：在求补集时，注意全集 $U$ 中的最大元素 5，因其未在 $A,B$ 中频繁出现，部分考生在草稿纸上罗列时容易遗漏该元素。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是天津高考数学卷的开篇第一题，属于经典的“送分题”。母题结构直接源于人教A版教材《必修第一册》第一章“集合的基本运算”课后复习参考题。命题意图非常纯粹，旨在通过无干扰项、边界清晰的离散数字运算，测试考生对集合基本符号语言的认读精确度，稳定临场考试情绪。
2. 结论推广： 在集合的抽象代数运算中，本题所涉及的算式结构满足德·摩根定律（De Morgan’s laws）的对偶形态变形。 由德·摩根定律知 ${\complement }_U(B\cap {\complement }_{U}A)={\complement }_{U}B\cup {\complement }_U({\complement }_{U}A)={\complement }_{U}B\cup A$。 这意味着，本题所求的集合空间在 Venn 图（韦恩图）或布尔代数体系中，等价于全集中剔除了“属于 $B$ 且不属于 $A$ 的元素集”后剩余的部分。 即： ${\complement }_{U}B\cup A={\complement }_U(B\setminus A)$ 在本题中， $B\setminus A=\{2,4\}$（属于 $B$ 但不属于 $A$ 的元素）。在全集 $U$ 中剔除 $\{2,4\}$，直接快速求解得到 $\{1,3,5\}$。这一推广模型在处理含有未知字母参数的复杂集合压轴题时，能起到将多步运算化归为单步裁剪的简化作用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-01 单-集合并集
• 2013-上海卷理-15 单-集合并集
• 2013-重庆卷理-01 单-集合并集