2023-天津卷-04 单-函数图象识别

本题导读

本题考查函数图象的识别，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）函数 $f(x)$ 的图象如图所示

，

则 $f(x)$ 的解析式可能为 (　　)

A. $\frac{5(e^x-e^{-x})}{x^2+2}$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{5\sin x}{x^2+1}$

C. $\frac{5(e^x+e^{-x})}{x^2+2}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{5\cos x}{x^2+1}$

🔍【思路分析】

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1. 对称性（奇偶性）： 观察图象关于 $y$ 轴对称，说明 $f(x)$ 为偶函数。

2. 符号（值域）： 观察图象在 $x$ 轴两侧均有分布（即函数值有正有负）。

3. 排除法： 根据上述两个特征依次对选项进行筛选。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

1. 分析奇偶性：

   • A选项：设 $g(x)=\frac{5(e^x-e^{-x})}{x^2+2}$，则 $g(-x)=\frac{5(e^{-x}-e^x)}{(-x{)}^2+2}=-g(x)$，为奇函数，排除。

   • B选项：设 $h(x)=\frac{5\sin x}{x^2+1}$，因为 $\sin (-x)=-\sin x$，所以 $h(-x)=-h(x)$，为奇函数，排除。

   • C、D选项：分母均为偶函数，分子 $e^x+e^{-x}$ 和 $\cos x$ 也均为偶函数，故 C、D 均为偶函数，符合对称性。

2. 分析函数值的符号：

   • C选项：$f(x)=\frac{5(e^x+e^{-x})}{x^2+2}$。由于 $e^x+e^{-x}>0$ 且 $x^2+2>0$，故 $f(x)$ 在定义域内恒大于 $0$。这与图象在 $x$ 轴下方有分布不符，排除。

   • D选项：$f(x)=\frac{5\cos x}{x^2+1}$。由于 $\cos x$ 的取值范围是 $[-1,1]$，函数值会随着 $x$ 的变化在正负之间切换，与图象特征吻合。

3. 结论：

   只有 D 选项满足所有特征。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四则运算复合函数的奇偶性代数判定律、指对数与三角函数基本值域的符号控制。
2. 核心方法：图象特征转化法、多项式特值排查法。
3. 避坑指南：

• 奇偶性代数公式记错：部分考生容易模糊 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的奇偶性。牢记“正弦奇、余弦偶”，若将 $\cos x$ 记成奇函数，则会直接漏掉正确答案。
• 过于沉迷复杂求导：处理图象识别选择题，切忌一开始就尝试对四个选项求导去研究单调性或极值。压轴图象题通常通过“奇偶性”和“特殊点/正负号”两层筛子就能直接击穿，求导往往是无法排除时的终极下策。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是天津高考卷中最经典的图象识别选择题。母题模型来源于教材中关于“利用函数性质勾勒函数简图”的探究拓展活动。命题立意明确，旨在绕开复杂的代数运算，考查考生将宏观的图形几何特征（对称、穿轴）敏锐转化为微观代数约束（奇偶方程、不等式号）的数形结合基本功。
2. 结论推广： 本题 D 选项的结构 $f(x)=\frac{A\cos x}{x^2+k}(A>0,k>0)$ 在物理学中具有重要的动力学背景，它被称为**衰减震荡波（Attenuated Oscillation）**的初等数学简化模型。 由于分母 $x^2+k$ 随着 $x\to \infty$ 呈二次多项式级速度无限膨胀，而分子 $A\cos x$ 仅在固定的有界区间 $[-A,A]$ 内做等幅周期摆动。 由高等数学夹逼准则（Squeeze Theorem）可知，其整体极限必满足： ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{A\cos x}{x^2+k}=0$ 这在几何上表现为：图象虽然上下穿过 $x$ 轴，但其波峰和波谷的绝对高度会随着远离原点而急剧衰减，最终无限贴近于 $x$ 轴。掌握这一整体极限走势模型，可以在面对任何带有分母无穷大的指、三角复合图象题时，自发推演出图象的远端轨线走向。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 2013-山东卷理-16 填-分段函数
• 2013-江西卷理-02 单-函数定义域