2013-江西卷理-02 单-函数定义域

本题导读

本题考查函数的概念，以及函数的定义域。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 函数 $y=\sqrt{x}\ln (1-x)$ 的定义域为()

A. $(0,1)$　　　　B. $[0,1)$　　　　C. $(0,1]$　　　　D. $[0,1]$

🔍【思路分析】

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1. 分析函数构成：该函数由算术平方根 $\sqrt{x}$ 和自然对数 $\ln (1-x)$ 相乘组成。
2. 确定限制条件：
   • 对于根式部分 $\sqrt{x}$，要求被开方数非负，即 $x\ge 0$。
   • 对于对数部分 $\ln (1-x)$，要求真数大于 0，即 $1-x>0$。
3. 求解并集：联立以上两个不等式构成不等式组，求解公共部分，最后转化为区间形式。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

根据函数的解析式 $y=\sqrt{x}\ln (1-x)$，要使函数有意义，需满足：

$$\{\begin{array}{ll}x\ge 0& \text{（根号下需大于等于 0）}\\ 1-x>0& \text{（对数真数需大于 0）}\end{array}$$

解该不等式组： 由第一式得 $x\ge 0$； 由第二式得 $x<1$。 取交集得 $0\le x<1$。 用区间表示为 $[0,1)$。

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：常见基本初等函数定义域的限制。 - 分式：分母不为 0。 - 偶次根式：被开方数 $\ge 0$。 - 对数式：真数 $>0$，底数 $>0$ 且 $\ne 1$。 - 零指数幂：底数 $\ne 0$。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意区间端点的开闭。对数函数的真数不能等于 0，因此 $x=1$ 处必须是开区间；而根号下可以等于 0，因此 $x=0$ 处必须是闭区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的定义域、值域、不等式组的数轴表示法。

结论推广：见详细解析。

方法推广：对于更复杂的复合函数（如 $y=\frac{\sqrt{f(x)}}{\ln g(x)}$），解题逻辑一致，即所有组成部分必须同时有意义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷文-06 单-函数定义域
• 2014-山东卷文-03 单-函数定义域
• 2013-广东卷文-02 单-函数定义域