2023-天津卷-05 单-三角函数周期性

本题导读

本题考查正弦函数、余弦函数的周期性，以及正弦函数、余弦函数的对称性。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）已知函数 $f(x)$ 的一条对称轴为直线 $x=2$，一个周期为 $4$，则 $f(x)$ 的解析式可能为 (　)

A. $\sin (\frac{\pi }{2}x)$　　　　　B. $\cos (\frac{\pi }{2}x)$　　　　　C. $\sin (\frac{\pi }{4}x)$　　　　　D. $\cos (\frac{\pi }{4}x)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用周期性筛选： 根据周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，由 $T=4$ 求出 $|\omega |$。

2. 利用对称性筛选： - 方法一（定义法）：正弦函数 $y=\sin X$ 的对称轴满足 $X=k\pi +\frac{\pi }{2}$；余弦函数 $y=\cos X$ 的对称轴满足 $X=k\pi$。

   • 方法二（特值法）：函数在对称轴处必须取得最大值或最小值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析周期

已知周期 $T=4$。对于形如 $y=\sin \omega x$ 或 $y=\cos \omega x$ 的函数，其周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。

• 若 $\omega =\frac{\pi }{2}$，则 $T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{2}}=4$，符合题意（A、B候选）。

• 若 $\omega =\frac{\pi }{4}$，则 $T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{4}}=8$，不符合题意（排除 C、D）。

第二步：分析对称轴

解法一（解析式验证）：

• 对于 A：$f(x)=\sin (\frac{\pi }{2}x)$。令 $\frac{\pi }{2}x=k\pi +\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=2k+1(k\in \mathbb{Z})$。当 $x=2$ 时，$2k+1=2\Rightarrow 2k=1$，无整数解。故 $x=2$ 不是其对称轴，排除 A。

• 对于 B：$f(x)=\cos (\frac{\pi }{2}x)$。令 $\frac{\pi }{2}x=k\pi \Rightarrow x=2k(k\in \mathbb{Z})$。当 $k=1$ 时，$x=2$。故 $x=2$ 是其一条对称轴，符合题意。

解法二（杨飞老师补解 - 特值法）：

因为三角函数在对称轴处必取得最值（最大值或最小值）：

• 将 $x=2$ 代入 A 选项：$f(2)=\sin (\frac{\pi }{2}\times 2)=\sin \pi =0$。而 $\sin$ 函数的极值为 $\pm 1$，故 $x=2$ 处不是最值点，不是对称轴。

• 将 $x=2$ 代入 B 选项：$f(2)=\cos (\frac{\pi }{2}\times 2)=\cos \pi =-1$。此时函数取得最小值，说明 $x=2$ 必定是对称轴。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦、余弦函数周期因数的代数转化、三角函数对称轴与极值点（波峰/波谷）的几何等价性。
2. 核心方法：周期公式法、特值极值检验法。
3. 避坑指南：

• 混淆对称轴与对称中心处的数值：部分考生容易记混，误认为对称轴处函数值为 0。必须明确，三角函数在对称轴处取最值（$\pm 1$），在对称中心处取中值（$0$）。
• 选择题中做不必要的全称推导：处理此类求“可能解析式”的基础选择题，求出 $\omega$ 后直接代入对称轴数值 $x_0$ 检查是否输出 $\pm 1$，是最快捷、最不易出错的考场策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于高考三角函数图象性质板块最经典的低难度单选题。母题构型直接来源于人教A版教材《必修第一册》第五章“正弦函数、余弦函数的图象与性质”的课后基础练习题。命题立意在于考查学生对三角函数图象两项核心度量（横向伸缩周期、纵向对称位置）的公式化应用与概念理解。
2. 结论推广: 对于形如 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$ 或 $f(x)=\cos (\omega x+\phi )(\omega >0)$ 的正弦型/余弦型函数，其几何对称要素与代数输出值之间存在如下刚性不变量绑定：

• 直线 $x=x_0$ 是其对称轴 $⟺|f(x_0)|=A_{\max }$（即该点必为波峰或波谷点）；
• 点 $(x_0,0)$ 是其对称中心 $⟺f(x_0)=0$（即该点必为穿轴零点）。 掌握这一充要等价链，在后续解决更复杂的结合导数、含参三角函数大题的图象判定时，可以自发跳过繁琐的相位方程联立，直接通过最值和零点实现定性快速求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性
• 2014-上海卷理-01 填-二倍角公式
• 2014-湖南卷理-10 单-函数对称性