2023-天津卷-07 单-相关系数

本题导读

本题考查相关系数，以及散点图。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示

，

其中相关系数 $r=0.8245$，下列说法正确的是 (　　)

A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性

B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关

C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关

D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 0.8245

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定相关性类型： 观察相关系数 $r$ 的符号。$r>0$ 为正相关，$r<0$ 为负相关，$r=0$ 为不相关。

2. 观察散点图特征： 若点阵从左下向右上倾斜，反映了随着自变量增加，因变量也有增加趋势，即正相关。

3. 理解样本相关系数： 样本相关系数是基于特定样本数据计算的。样本变化，计算出的 $r$ 值通常也会发生波动。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析相关性方向

已知相关系数 $r=0.8245$。

• 因为 $r>0$，说明两个变量之间存在正相关关系。

• 一般认为 $|r|>0.75$ 表示两个变量之间具有很强的线性相关关系。

第二步：结合散点图特征

题目解析提到散点图呈“左下角到右上角”的带状分布，这在几何上表现为直线的斜率为正，进一步验证了其正相关性。

第三步：辨析选项 D

• 相关系数 $r$ 是针对整体样本计算的统计量。

• 如果从样本中抽取一部分（子集），由于数据点的分布发生了变化，这部分数据的线性相关程度也会随之改变，因此相关系数不一定等于原样本的 $0.8245$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相关系数 $r$ 的代数符号与正负相关性的映射、散点图点阵走势的几何认读、样本统计量的局域变动性。
2. 核心方法：图表数形比对法、统计学概率变动判定法。
3. 避坑指南：

• 混淆相关关系与确定的函数关系：必须明确统计学中的“相关关系”是一种非确定性的关系。正相关并不意味着花萼长度每增加一个单位，花瓣长度就必须死板地增加固定单位，它表达的是一种宏观的统计趋势。
• 误认为子集统计量继承整体：部分考生容易掉入 D 选项的直觉陷阱，误以为局部可以无条件代表整体。牢记在统计学中，均值、方差、相关系数等样本统计量均具有抽样随机性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于高考统计板块非常基础的概念辨析单选题。母题模型直接来源于人教A版教材《选择性必修第三册》第八章“成对数据的统计分析”的导引实例。命题意图非常明确，旨在考查考生对数据分析核心指标（相关系数）与几何图表（散点图）的定性解读能力，避免机械套用复杂的计算公式。
2. 结论推广： 在统计学与机器学习中，样本相关系数通常采用**皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）**公式进行定量计算： $r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}$ 由柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality）可严格证明其理论边界恒满足 $|r|⩽1$。

• 当 $r\in [0.75,1]$ 时，定义为强正线性相关；
• 当 $r\in [-1,-0.75]$ 时，定义为强负线性相关。 理解该代数结构，可以帮助我们在面对更复杂的回归分析或多变量关联度判定时，迅速通过 $r$ 的取值及符号建立起对数据流向的宏观直觉。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2022-乙卷文-19 解-相关系数
• 2022-乙卷理-19 解-相关系数