2023-天津卷-08 单-棱锥体积

本题导读

本题考查棱锥的体积，以及面积比与边长比的关系。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）在三棱锥 $P-ABC$ 中，线段 $PC$ 上的点 $M$ 满足 $PM=\frac{1}{3}PC$，线段 $PB$ 上的点 $N$ 满足 $PN=\frac{2}{3}PB$，则三棱锥 $P-AMN$ 和三棱锥 $P-ABC$ 的体积之比为 (　)

A. $\frac{1}{9}$　　　　　　　B. $\frac{2}{9}$　　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　　D. $\frac{4}{9}$

🔍【思路分析】

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1. 观察结构： 两个三棱锥共享顶点 $P$ 和 侧棱 $PA$。$M$ 和 $N$ 分别在另两条侧棱上。

2. 公式原理： 对于从同一顶点 $P$ 出发的三棱锥 $P-AMN$ 和 $P-ABC$，其体积比满足：

   $\frac{V_{P-AMN}}{V_{P-ABC}}=\frac{PA}{PA}\cdot \frac{PM}{PC}\cdot \frac{PN}{PB}$

3. 计算： 直接带入边长比例即可得出结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 将三棱锥的底面看作是在平面 $PAC$ 上。

2. 在 $△PAC$ 中，由于 $M$ 是 $PC$ 上靠近 $P$ 的三等分点，则 $S_{△PAM}=\frac{PM}{PC}{S}_{△PAC}=\frac{1}{3}{S}_{△PAC}$。

3. 设点 $N$ 到平面 $PAC$ 的距离为 $d_1$，点 $B$ 到平面 $PAC$ 的距离为 $d_2$。

4. 因为 $N$ 在 $PB$ 上，且 $PN=\frac{2}{3}PB$，根据空间相似性质可知：$d_1=\frac{2}{3}{d}_2$。

5. 体积计算：

   • $V_{P-AMN}=V_{N-PAM}=\frac{1}{3}{S}_{△PAM}\cdot d_1=\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}{S}_{△PAC})\cdot (\frac{2}{3}{d}_2)$

   • $V_{P-ABC}=V_{B-PAC}=\frac{1}{3}{S}_{△PAC}\cdot d_2$

6. 两式相比：$\frac{V_{P-AMN}}{V_{P-ABC}}=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$。

解法二（共顶点体积比公式）：

1. 利用结论：若三棱锥 $P-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 的顶点 $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ 分别在三棱锥 $P-ABC$ 的侧棱 $PA,PB,PC$ 上，则：

   $\frac{V_{P-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{V_{P-ABC}}=\frac{P{A}^{\prime }}{PA}\cdot \frac{P{B}^{\prime }}{PB}\cdot \frac{P{C}^{\prime }}{PC}$

2. 本题中，对应点为：$A^{\prime }=A$，$B^{\prime }=N$，$C^{\prime }=M$。

   • $\frac{PA}{PA}=1$

   • $\frac{PN}{PB}=\frac{2}{3}$

   • $\frac{PM}{PC}=\frac{1}{3}$

3. 代入公式：$\frac{V_{P-AMN}}{V_{P-ABC}}=1\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多面体体积在截面变动下的比例度量、同底/共高三角形面积的比例转化、空间向量或几何相似的高之比体现律。
2. 核心方法：共三面角边长连乘公式法、三棱锥等积换底法。
3. 避坑指南：

• 比例分式看反或漏项：部分考生在草稿纸上点数时，容易把 $PM=\frac{1}{3}PC$ 的比例误读为 $MC$ 的比例，导致输入错误分值。务必看清比例的起点是否统一为公共顶点 $P$。
• 解答题中直接套用公式未加说明：本题若出现在大题中，不能直接写出解法一的最终公式。必须按照解法二的步骤，交代“底面积之比为 $\frac{1}{3}$，高之比为 $\frac{2}{3}$”，再进行相乘，以满足高考大题的步骤严密性要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是天津高考数学卷中关于立体几何几何度量的经典高频单选题。母题构型直接来源于人教A版教材《选择性必修第一册》中关于“利用空间向量或初等方法求多面体截面体积分割比”的思考与运用板块。命题立意旨在通过纯粹的比例代数运算，考查考生的空间几何直觉与模型化快速化归能力。
2. 结论推广： 共顶点体积比定理在高等几何中可进一步推广为近代射影几何中的体积单比公式： 在 $N$ 维空间中，设一个 $N$ 维单纯形（Simplex）从公共顶点 $O$ 引出 $N$ 条射线。若在其射线上分别截取动点构成新旧两个多胞体，则它们的广义测度（体积）之比，恒等于这 $N$ 条侧棱有向长度比值的算术连乘积： $\frac{V_{\text{新}}}{V_{\text{旧}}}={\prod }_{i=1}^N\frac{O{L}_i^{\prime }}{O{L}_i}$ 掌握这一高维单纯形体现模型，无论是面对高考中的三棱锥分割（$N=3$），还是面对某些创新题中的四棱锥甚至高维新定义割补，均可自发跨越繁琐的作垂线、求交点过程，直接通过一阶线性边长比连乘定死最终客观答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2000-新课标理-09 单-几何体的表面积与体积
• 2008-大纲卷II文-08 单-正四棱锥体积
• 2008-山东卷文-19 解-四棱锥面面垂直与体积