2008-大纲卷II文-08 单-正四棱锥体积

本题导读

考查棱锥体积与线面角。侧棱 $2\sqrt{3}$、与底面成 $60^{\circ }$，高 $3$，底面正方形边长 $\sqrt{6}$，$V=6$，选 B。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 正四棱锥的侧棱长为 $2\sqrt{3}$，侧棱与底面所成的角为 $60^{\circ }$，则该棱锥的体积为()

A. $3$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $9$　　　　　　　D. $18$

🔍【思路分析】

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1. 顶点在底面的射影是底面中心，侧棱与底面所成角即侧棱与中心连线段和底面的夹角。
2. 高 $h=2\sqrt{3}\sin 60^{\circ }=3$；中心到顶点距离 $=2\sqrt{3}\cos 60^{\circ }=\sqrt{3}$。
3. 底面正方形对角线一半为 $\sqrt{3}$，边长 $a=\sqrt{3}\times \sqrt{2}=\sqrt{6}$。
4. $V=\frac{1}{3}{a}^{2}h$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设底面正方形边长为 $a$，顶点 $P$ 在底面上的射影为中心 $O$. 侧棱与底面所成的角为 $\angle PDO=60^{\circ }$（$D$ 为底面一顶点），其中 $PD=2\sqrt{3}$. 所以高 $h=PO=PD\sin 60^{\circ }=2\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3,$ 底面中心到顶点的距离 $OD=PD\cos 60^{\circ }=2\sqrt{3}\times \frac{1}{2}=\sqrt{3}.$ $OD$ 为底面正方形对角线的一半，故对角线 $2\sqrt{3}$，边长 $a=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$. 体积 $V=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{1}{3}\times 6\times 3=6.$ 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱锥的体积与线面角

核心方法：$h=2\sqrt{3}\sin 60^{\circ }=3$，$OD=\sqrt{3}$，$a=\sqrt{6}$，$V=6$

避坑指南：侧棱与底面所成角在”侧棱—高—底面中心到顶点连线”直角三角形中；$V=\frac{1}{3}{a}^{2}h$；底面正方形对角线 $=\sqrt{2}a$，由一半对角线反求边长别除错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：锥体体积配线面角是立体几何小题常见组合，2010 上海文第 6 题、2009 陕西文第 11 题同型。

结论推广：$h=l\sin \theta$，$r=l\cos \theta$（$r$ 为底面中心到顶点距离）；正方形 $r=\frac{\sqrt{2}}{2}a$。

方法推广：画对角线截面最直观；由 $r$ 求 $a$ 时 $a=\sqrt{2}r$（乘不是除）；最后用选项量级粗验。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2010-上海卷文-06 填-四棱锥体积
• 2010-北京卷文-08 单-正方体三棱锥体积
• 2009-陕西卷文-11 单-正八面体体积
• 2010-湖南卷文-13 填-三视图棱锥体积