2023-天津卷-09 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$。过 $F_2$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $P$。已知 $|P{F}_2|=2$，直线 $P{F}_1$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$，则双曲线的方程为 (　)

A. $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{8}=1$

C. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用双曲线的重要结论： 双曲线的焦点到渐近线的距离等于其半虚轴长 $b$。由 $|P{F}_2|=2$ 直接得到 $b=2$。

2. 求点 $P$ 的坐标： 联立渐近线方程和过 $F_2$ 且垂直于渐近线的直线方程，求出交点 $P$ 的坐标（用 $a,b,c$ 表示）。

3. 利用斜率条件： 根据 $P$ 和 $F_1(-c,0)$ 的坐标计算斜率，代入已知值 $\frac{\sqrt{2}}{4}$，并结合 $c^2=a^2+b^2$ 构造关于 $a$ 的方程。

4. 求解方程： 解出 $a$ 的值，确定双曲线方程。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用几何性质求 $b$

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $bx\pm ay=0$。

焦点 $F_2(c,0)$ 到渐近线 $bx-ay=0$ 的距离 $d=\frac{|bc-a\cdot 0|}{\sqrt{b^2+a^2}}=\frac{bc}{c}=b$。

已知 $|P{F}_2|=2$，故 $b=2$。

第二步：求点 $P$ 的坐标

取渐近线 $l_1:y=\frac{b}{a}x$。

过 $F_2(c,0)$ 且垂直于 $l_1$ 的直线 $l_2$ 方程为：$y-0=-\frac{a}{b}(x-c)$。

联立方程组：

$\{\begin{array}{l}y=\frac{b}{a}x\\ y=-\frac{a}{b}x+\frac{ac}{b}\end{array}$

解得：$x_P=\frac{a^2}{c}$，$y_P=\frac{ab}{c}$。即 $P(\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c})$。

第三步：利用斜率公式构造方程

已知 $F_1(-c,0)$，直线 $P{F}_1$ 的斜率 $k=\frac{\frac{ab}{c}-0}{\frac{a^2}{c}-(-c)}=\frac{ab}{a^2+c^2}$。

已知 $k=\frac{\sqrt{2}}{4}$，代入 $b=2$ 和 $c^2=a^2+b^2=a^2+4$：

$\frac{2a}{a^2+(a^2+4)}=\frac{\sqrt{2}}{4}⟹\frac{2a}{2a^2+4}=\frac{a}{a^2+2}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

整理得：$\sqrt{2}{a}^2-4a+2\sqrt{2}=0$。

第四步：解方程求 $a$

除以 $\sqrt{2}$ 得：$a^2-2\sqrt{2}a+2=0$。

这是一个完全平方式：$(a-\sqrt{2}{)}^2=0$。

解得 $a=\sqrt{2}$。

结论：

$a^2=2$，$b^2=4$。

双曲线方程为 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线中由焦点向渐近线体现所得直角三角形 $△OP{F}_2$ 的边长不变量结论、基于分式坐标的多项式斜率化简。
2. 核心方法：几何不变量代归法、坐标解析消元法。
3. 避坑指南：

• 盲目使用点到直线距离公式化简斜率：部分考生不了解垂足 $P$ 到原点距离为 $a$ 的结论，在求出 $P\left(\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c}\right)$ 后，由于分式中同时含有 $a,b,c$ 三个变量，若不及时利用 $c^2=a^2+b^2$ 将其全部化归为关于 $a$ 的单变量方程，极易导致代数运算失控。
• 混淆椭圆与双曲线的平方关系：在代换 $c^2$ 时，务必牢记双曲线中是 $c^2=a^2+b^2$（斜边最长），切不可误用椭圆中的 $a^2=b^2+c^2$，否则求出的方程项将彻底错位。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于高考解析几何章节关于圆锥曲线几何性质的中高难度选择题。母题模型根植于教材中关于“研究双曲线渐近线的垂直射影位置”的典型思考题。命题立意精巧，将代数的斜率计算与圆锥曲线固有的空间几何特征进行有机级联，侧重考查考生通过“几何先行”化简“代数计算”的解析几何核心素养。
2. 结论推广： 在相关理论框架下，存在一个关于焦点垂足的**“双特征不变量定理”**： 从任一焦点（如 $F_2$）向任一条渐近线（如 $y=\frac{b}{a}x$）引垂线，设垂足为 $P$。

• 不变量一（虚轴绑定）：垂线段长度恒满足 $|P{F}_2|=b$；
• 不变量二（实轴绑定）：垂足到原点的距离恒满足 $|OP|=a$。

由此可导出，垂足 $P$ 的几何轨迹是一个以原点为圆心、以实半轴长 $a$ 为半径的常定圆（称为双曲线的主圆，Principal Circle）： $x^2+y^2=a^2$ 掌握这一隐性不变量模型，在后续面对任何涉及焦点垂足、射影圆、或者求垂足轨迹的解析几何压轴选择填空题时，均可免去全部的直线的建系与联立过程，直接利用圆的初等几何性质瞬快速得出局。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-09 单-直线斜率
• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程
• 2013-湖南卷理-04 单-线性规划