2023-天津卷-16 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于方程思想（通过余弦定理构造一元二次方程）、几何逻辑推理（由大角性质判定内角范围）的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年天津卷）在 $\Delta ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$．已知 $a=\sqrt{39}$ ， $b=2$ ， $\angle A=120^{\circ }$ ．

（Ⅰ）求 $\sin B$ 的值；

（Ⅱ）求 $c$ 的值；

（Ⅲ）求 $\sin (B-C)$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求角）： 已知 $a,b,A$，这是典型的“已知两边及其中一边的对角”模型，直接应用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 即可求解。

2. 第二问（求边）： 已知两边及其中一边的对角求第三边，余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 是最直接的工具。代入数据后会得到一个关于 $c$ 的一元二次方程，根据边长大于零的几何意义进行舍减。

3. 第三问（求差角）： 求 $\sin (B-C)$ 需要用到两角差的正弦公式。核心任务是求出 $B$ 和 $C$ 的正弦与余弦值。需要注意：由于 $A=120^{\circ }$ 为钝角，则 $B,C$ 必为锐角，这决定了余弦值的符号。

【解析】

（Ⅰ）求 $\sin B$ 的值

在 $\Delta ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得：

$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{2\times \sin 120^{\circ }}{\sqrt{39}}=\frac{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{39}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{39}}=\frac{1}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$

所以 $\sin B$ 的值为 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ ．

（Ⅱ）求 $c$ 的值

在 $\Delta ABC$ 中，由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 得：

(\sqrt{39})^2 = 2^2 + c^2 - 2 \times 2 \times c \times \cos 120^\circ$$$$39 = 4 + c^2 - 4c \times \left(-\frac{1}{2}\right)

整理得： $c^2+2c-35=0$

解得 $(c+7)(c-5)=0$ ．

因为边长 $c>0$ ，所以 $c=5$ ．

（Ⅲ）求 $\sin (B-C)$ 的值

由（Ⅰ）知 $\sin B=\frac{\sqrt{13}}{13}$ ．

因为 $A=120^{\circ }$ ，且三角形内角和为 $180^{\circ }$ ，故 $B$ 必为锐角，

所以 $\cos B=\sqrt{1-{\sin }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{13}}{13}\right)}^2}=\sqrt{\frac{12}{13}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{39}}{13}$ ．

在 $\Delta ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$ 得：

$\sin C=\frac{c\sin A}{a}=\frac{5\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{39}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{39}}=\frac{5}{2\sqrt{13}}=\frac{5\sqrt{13}}{26}$

同样由于 $A=120^{\circ }$ ， $C$ 必为锐角，

所以 $\cos C=\sqrt{1-{\sin }^{2}C}=\sqrt{1-{\left(\frac{5\sqrt{13}}{26}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{325}{676}}=\sqrt{\frac{351}{676}}=\sqrt{\frac{27}{52}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{39}}{26}$ ．

根据两角差的正弦公式：

\sin(B-C) = \sin B \cos C - \cos B \sin C$$$$= \frac{\sqrt{13}}{13} \times \frac{3\sqrt{39}}{26} - \frac{2\sqrt{39}}{13} \times \frac{5\sqrt{13}}{26}$$$$= \frac{3 \times 13 \sqrt{3}}{13 \times 26} - \frac{10 \times 13 \sqrt{3}}{13 \times 26} = \frac{3\sqrt{3}}{26} - \frac{10\sqrt{3}}{26} = -\frac{7\sqrt{3}}{26}

故 $\sin (B-C)$ 的值为 $-\frac{7\sqrt{3}}{26}$ ．

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\sin B=\frac{\sqrt{13}}{13}$

(2) $c=5$

(3) $\sin (B-C)=-\frac{7\sqrt{3}}{26}$

✍【详细解析】

Abstract

故𝑐= 5

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正余弦定理的公式化结构外推、大角限制下其余内角区间范围的边界逻辑锁定、多重根式的代数乘除运算。
2. 核心方法：方程减元法（余弦定理构造二次等式）、分步三角变换法。
3. 避坑指南：

• 一元二次方程多解盲目保留：在第（Ⅱ）问中，解方程求边长时会自发伴生负根。务必显式交代 $c>0$ 的几何限定，做出正确的舍选表述。
• 三角函数符号判断失据（高频翻车点）：在由 $\sin C=\frac{5}{2\sqrt{13}}$ 反解 $\cos C$ 时，如果不通过“$A=120^{\circ }⟹C$ 为锐角”这一大角前提进行判定，而盲目保留正负号，将导致第三问产生多余的错误分支。
• 根式过早有理化放大计算量：在第三问中，建议将 $\sin B$ 和 $\cos B$ 先保留为分母不含有理化的形式（如 $\frac{1}{\sqrt{13}}$），在最终两项相乘分母自发转为 $26$ 时再做统一合并，能显著优化草稿纸上的算术项数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是天津高考数学卷中最常规的解三角形解答题，作为大题的第一题出现。母题基础源于人教A版教材《必修第二册》第六章“正弦定理与余弦定理的综合解法”的课后基础典型题。命题立意平和，旨在通过清晰的阶梯设问，测试学生对三角形基础工具链的调用纯熟度以及根式代数运算的抗压稳定性。
2. 结论推广： 在解三角形问题中，若已知边 $b$、边 $c$ 以及它们的夹角 $A$，如果目标是直接度量余下的非夹角正弦差值 $\sin (B-C)$。通过正弦定理将角化为边，可推导出以下通用的**“解三角形差角边化体现定理”**： $\sin (B-C)=\frac{(b^2-c^2)\sin A}{a^2}$ 在本题中，由前两问已解得 $a^2=39,b^2=4,c^2=25$，且 $\sin A=\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$。直接套用该推广结论： $\sin (B-C)=\frac{(4-25)\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{39}=\frac{-21\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{39}=\frac{-21\sqrt{3}}{78}=-\frac{7\sqrt{3}}{26}$ 掌握这一将三角恒等变换彻底简化成纯边长多项式运算的推广模型，可以在后续面对任何涉及三角形内角和差变化的选择填空或解答题中，实现高效的复核与快速求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2012年山东卷理-17
• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形