2023-新高考I卷-01 单-集合

本题导读

本题考查集合的交集运算与一元二次不等式的解法. 题目属于基础题，可通过解不等式求出集合 $N$ 的范围再与 $M$ 取交集，也可利用集合 $M$ 为有限集的特点直接将元素代入验证，从而快速准确地得出答案.

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）已知集合 $M=\{-2,-1,0,1,2\}$， $N=\{x\mid x^2-x-6⩾0\}$，则 $M\cap N=$()

A. $\{-2,-1,0,1\}$　　　　B. $\{0,1,2\}$　　　　C. $\{-2\}$　　　　D. $\{2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

本题求两个集合的交集，其中集合 $M$ 为列举法表示的有限集，集合 $N$ 为描述法表示的不等式解集。

1. 直接求解法（通性通法）：先解一元二次不等式 $x^2-x-6⩾0$ 得到集合 $N$ 的区间表示，再与集合 $M$ 中的各个离散整数元素进行对照，找出同时属于两个集合的公共元素。
2. 代入验证法（考场快速求解）：由于集合 $M$ 中只有 5 个确定的整数，在考场上可以直接将这 5 个数逐一代入不等式 $x^2-x-6⩾0$ 中进行检验，使得不等式成立的元素即为交集元素，无需完整解出不等式区间。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：直接运算法（因式分解区间法）

第一步：解一元二次不等式确定集合 $N$ 对于一元二次不等式： $x^2-x-6⩾0$ 利用十字相乘法将常数项 $-6$ 拆分为 $-3\times 2$，且满足中间项系数 $-3+2=-1$，对二次多项式进行因式分解： $(x-3)(x+2)⩾0$ 根据“大于取两边，小于取中间”的口诀，解得自变量 $x$ 的取值范围为： $x⩽-2\text{或}x⩾3$ 用区间和并集符号表示集合 $N$ 如下： $N=(-\infty ,-2]\cup [3,+\infty )$

第二步：对照集合 $M$ 取两集合的交集 已知有限集合： $M=\{-2,-1,0,1,2\}$ 我们将 $M$ 中的元素一一与集合 $N$ 的生存区间进行比对：

• $x=-2$：满足 $x⩽-2$，属于集合 $N$；
• $x=-1,0,1,2$：均落在开区间 $(-2,3)$ 内，不满足 $x⩽-2$ 且不满足 $x⩾3$，故不属于集合 $N$。

综上所述，两个集合的公共元素有且仅有 $-2$ 一个。 故： $M\cap N=\{-2\}$

方法二：代数代入验证法（排除法，极致手速）

因为集合 $M$ 的元素极少，我们直接将 $M$ 中的 5 个元素分别填入不等式 $x^2-x-6$ 中进行极性测试：

• 当 $x=-2$ 时： $(-2{)}^2-(-2)-6=4+2-6=0⩾0$，不等式严格成立；
• 当 $x=-1$ 时： $(-1{)}^2-(-1)-6=1+1-6=-4<0$，不等式不成立；
• 当 $x=0$ 时： $0^2-0-6=-6<0$，不等式不成立；
• 当 $x=1$ 时： $1^2-1-6=-6<0$，不等式不成立；
• 当 $x=2$ 时： $2^2-2-6=4-2-6=-4<0$，不等式不成立。 只有元素 $-2$ 能够安全通过不等式的筛查。 故 $M\cap N=\{-2\}$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合交集运算的含义（取公共元素）、一元二次不等式的因式分解与区间解法。
2. 核心方法：有限集代入验证法、十字相乘因式分解法。
3. 避坑指南：

• 忽略边界导致漏解：注意不等式中是 $⩾$ （大于等于号），它包含等于 0 的临界情况。在方法二中，代入 $x=-2$ 算出的结果恰好是 0，满足 $⩾0$ 的条件。部分粗心的考生容易将“等于 0”误判为不成立，从而错选 D。
• 运算符号混淆：在解 $(x-3)(x+2)⩾0$ 时，务必分清根的值分别为 $3$ 和 $-2$，切勿将区间错写成 $x⩽-3$ 或 $x⩾2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》与第二章《一元二次函数、方程和不等式》的跨章基础融合。作为高考数学的第一题，属于标志性的送分保底题。
2. 结论推广：在面对高考集合与不等式的复合客观题时，“看清集合的类型”是最高效的破题钥匙。若其中一个集合是如本题般的“离散有限整数集”，优先在草稿纸上采用代入验证法，其运算安全系数与手速通常远超标准的因式分解区间求交法；若两个集合均为“连续无限区间集”（例如 $M=\{x\mid |x|<3\}$ ），则代入法失效，必须熟练架设数轴，利用“数轴画区间，重叠即交集”的数形结合法实施精准收割。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷理-01
• 2013-新课标II卷理-01 单-集合交集
• 2014-新课标II卷理-01 单-集合交集