2023-新高考I卷-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算及共轭复数的基本概念。解决本题的关键在于先通过分母实数化将复数 $z$ 化为标准形式 $a+bi$，随后利用共轭复数的定义求出 $\bar{z}$ 并进行减法运算。属于考查基础运算功底的保底送分题.

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）已知 $z=\frac{1-\text{i}}{2+2\text{i}}$，则 $z-\bar{z}=$()

A. $-\text{i}$　　　　　　　B. $\text{i}$　　　　　　　C. $0$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 分母实数化化简 $z$：利用复数除法法则，分子分母同乘以分母的共轭复数，或者巧妙提取分母常数 2 构造出常用复数公式，将 $z$ 化归归纳为标准代数形式 $a+bi$。

2. 抓取共轭复数 $\bar{z}$：根据共轭复数的定义，若 $z=a+bi$，则其共轭复数为实部不变、虚部变号，即 $\bar{z}=a-bi$。
3. 点积作差输出：将 $z$ 与 $\bar{z}$ 的代数形式代入算式 $z-\bar{z}$ 求解。
4. 规律校验（排除法）：注意到对任意复数，都有 $z-\bar{z}=2bi$（即结果一定是纯虚数或 0）。扫视选项，D 是实数可直接排除，这能有效提升客观题的容错率。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：标准代数运算法（分母实数化）

第一步：化简复数 $z$ 已知复数分式结构为： $z=\frac{1-\text{i}}{2+2\text{i}}$ 首先我们观察分母，将其常数公因数 2 整体提取出来以简化运算盘面： $z=\frac{1-\text{i}}{2(1+\text{i})}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}$

为了实现分母实数化，我们将分子与分母同时强行乘以分母的共轭复数 $(1-\text{i})$： $z=\frac{1}{2}\cdot \frac{(1-\text{i})(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(1-\text{i}{)}^2}{(1+\text{i})(1-\text{i})}$

根据完全平方公式与虚数单位底层核心性质 ${\text{i}}^2=-1$，展开分子多项式： $(1-\text{i}{)}^2=1-2\text{i}+{\text{i}}^2=1-2\text{i}-1=-2\text{i}$ 利用平方差公式化简分母： $(1+\text{i})(1-\text{i})=1^2-{\text{i}}^2=1-(-1)=2$

将分子分母的化简成果整体回填： $z=\frac{1}{2}\cdot \frac{-2\text{i}}{2}=\frac{1}{2}\cdot (-\text{i})=-\frac{1}{2}\text{i}$

第二步：根据定义确定共轭复数 $\bar{z}$ 化简后的复数标准形式为 $z=0-\frac{1}{2}\text{i}$。 根据共轭复数的几何定义（关于 $x$ 轴对称，虚部极性反转）： $\bar{z}=0-\left(-\frac{1}{2}\text{i}\right)=\frac{1}{2}\text{i}$

第三步：规范进行复数减法运算 $\text{算式: }z-\bar{z}=\left(-\frac{1}{2}\text{i}\right)-\left(\frac{1}{2}\text{i}\right)=-\text{i}$

方法二：二级结论公式快速求解法（极限手速）

在高中复数运算中，有两组出现频次极高的黄金二级结论公式： 黄金复数分式结论： $\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\text{i},\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=-\text{i}$ 共轭作差恒等式： $z-\bar{z}=2\cdot \text{Im}(z)\cdot \text{i}(\text{即两倍的虚部乘以 }\text{i})$

$z=\frac{1}{2}\cdot \frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=\frac{1}{2}\cdot (-\text{i})=-\frac{1}{2}\text{i}$ 即 $\text{Im}(z)=-\frac{1}{2}$。 直接套用共轭作差恒等式： $z-\bar{z}=2\times \left(-\frac{1}{2}\right)\text{i}=-\text{i}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数除法的分母实数化（乘以共轭分子）、共轭复数的代数表征（虚部变号）、复数减法运算。
2. 核心方法：常用结论化归法（方法二）、分母实数化通法（方法一）。
3. 避坑指南：

• 虚数平方变号引发的符号混乱：这是复数大题与小题中最惨烈也是最高频的失分雷区。在展开 $-2{\text{i}}^2$ 或分母 $(1+\text{i})(1-\text{i})$ 时，由于 ${\text{i}}^2=-1$，会触发 $-{\text{i}}^2=-(-1)=+1$ 的负负得正极性反转。考场上务必在草稿纸上落笔稳扎稳打，切忌盲目导致符号出错。
• 习惯性漏提系数：本题如果直接分子分母同乘以 $2-2\text{i}$ 展开，分子会变成 $(1-\text{i})(2-2\text{i})=2-2\text{i}-2\text{i}+2{\text{i}}^2=-4\text{i}$，分母变成 8，容易因数字偏大增加笔误概率。请养成“先提取常数系数（如本题分母的 2）再实施化简”的良好运算习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材必修第二册第七章《复数》中复数代数运算与共轭性质的课后基本练习题。作为高考客观题的前二道保底题，属于雷打不动的送分题。
2. 结论推广：复数小题在高考中的高频变构形式除了考查作差，还极度偏爱考查**“复数的模长”（若 $z=a+bi$，则 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ ）以及“复数在复平面内对应点的象限分布”**。例如，本题求得的 $z=-\frac{1}{2}\text{i}$，在复平面内对应的点坐标为 $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$，即在 $y$ 轴的负半轴（虚轴负半轴） 上.

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-01 单-复数的除法运算
• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义