2023-新高考I卷-07 单-充要条件与数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和，以及充要条件的逻辑判定。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，设甲： $\{a_n\}$ 为等差数列；乙： $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 为等差数列，则（ ）

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件

B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C. 甲是乙的充要条件

D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性（甲 $⟹$ 乙）：若 $\{a_n\}$ 是等差数列，由前 $n$ 项和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$，除以 $n$ 后考察 $\frac{S_n}{n}$ 是否为等差数列。
2. 必要性（乙 $⟹$ 甲）：若 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 是等差数列，设 $\frac{S_n}{n}=Dn+E$，求出 $S_n$，再利用 $a_n=S_n-S_{n-1}(n⩾2)$ 求通项 $a_n$，并检验 $n=1$，判定 $\{a_n\}$ 是否为等差数列。
3. 结构特征法：利用等差数列前 $n$ 项和的特征 $S_n=A{n}^2+Bn$（不含常数项）可直接进行双向判定。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

方法一：利用数列特征多项式结构法

充分性（甲 $⟹$ 乙）： 若甲成立， $\{a_n\}$ 是等差数列。 其前 $n$ 项和满足特征： $S_n=A{n}^2+Bn$（$A,B$ 为常数）。 两边同除以 $n$ 得： $\frac{S_n}{n}=An+B$ 因为 $\frac{S_n}{n}$ 是关于 $n$ 的一次函数或常数，故 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 为等差数列。充分性成立。

必要性（乙 $⟹$ 甲）： 若乙成立， $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 是等差数列。 设其通项为： $\frac{S_n}{n}=Dn+E$（$D,E$ 为常数）。 两边同乘 $n$ 得： $S_n=D{n}^2+En$ 由于 $S_n$ 为不含常数项的二次多项式，故原数列 $\{a_n\}$ 必为等差数列。必要性成立。

综合可知，甲是乙的充要条件。

方法二：纯代数运算法

第一步：论证充分性（甲 $⟹$ 乙） 若甲成立，设等差数列 $\{a_n\}$ 首项为 $a_1$，公差为 $d$。 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ $\frac{S_n}{n}=a_1+\frac{n-1}{2}d=\frac{d}{2}n+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)$ 利用作差法检验： $\frac{S_{n+1}}{n+1}-\frac{S_n}{n}=\left[\frac{d}{2}(n+1)+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)\right]-\left[\frac{d}{2}n+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)\right]=\frac{d}{2}$ 公差为常数，故 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 为等差数列，充分性成立。

第二步：论证必要性（乙 $⟹$ 甲） 若乙成立，设 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 首项为 $A_1$，公差为 $t$。 $\frac{S_n}{n}=A_1+(n-1)t=tn+(A_1-t)$ $S_n=t{n}^2+(A_1-t)n$ 当 $n⩾2$ 时： $a_n=S_n-S_{n-1}=\left[t{n}^2+(A_1-t)n\right]-\left[t(n-1{)}^2+(A_1-t)(n-1)\right]$ $a_n=2tn+(A_1-2t)$ 检验 $n=1$： $a_1=S_1=t+(A_1-t)=A_1$ 将 $n=1$ 代入 $a_n=2tn+(A_1-2t)$ 得 $2t+A_1-2t=A_1$，公式对 $n=1$ 成立。 由于 $a_{n+1}-a_n=2t$（常数），故 $\{a_n\}$ 为等差数列，必要性成立。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

4. 核心考点：充要条件判定、等差数列通项及前 $n$ 项和公式。
5. 核心方法：利用 $S_n=A{n}^2+Bn$ 的结构特征可避免繁琐计算。
6. 避坑指南：

• 使用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 时，必须检验 $n=1$ 是否符合通项公式。若不检验，在解答题中会失分。
• 区分数列 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 和 $\{S_n\}$，审题需仔细。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查数列基本性质与逻辑用语的结合。
2. 结论推广：等差数列的前 $n$ 项和平均值满足 $\frac{S_n}{n}=\frac{a_1+a_n}{2}$，因 $a_n$ 是关于 $n$ 的一次函数，故其均值函数也为一次函数，由此可快速定性判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递
• 2013-上海卷理-16 单-充分条件与必要条件