2023-新高考I卷-11 多-抽象函数

本题导读

本题考查抽象函数与赋值法，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，满足 $f(xy)=y^{2}f(x)+x^{2}f(y)$，则（ ） A. $f(0)=0$　　　　　　　　　　　B. $f(1)=0$

C. $f(x)$ 是偶函数　　　　　　　　D. $x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用赋值法，分别令 $x=y=0$ 和 $x=y=1$ 求出 $f(0)$ 和 $f(1)$ 的值。
2. 令 $x=y=-1$ 求出 $f(-1)$ 的值，再令 $y=-1$ 建立 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系以判断奇偶性。
3. 当 $x,y\ne 0$ 时，对原方程两边同除以 $x^2{y}^2$，构造函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x^2}$。利用对数函数的性质构造特例模型，通过求导分析其在 $x=0$ 处的极值情况。

✅【答案】

点击查看答案

ABC

✍【详细解析】

Abstract

判断选项 A： 在方程 $f(xy)=y^{2}f(x)+x^{2}f(y)$ 中，令 $x=0,y=0$： $f(0)=0\cdot f(0)+0\cdot f(0)⟹f(0)=0$ 故 A 正确。

判断选项 B： 在原方程中，令 $x=1,y=1$： $f(1)=1\cdot f(1)+1\cdot f(1)⟹f(1)=2f(1)⟹f(1)=0$ 故 B 正确。

判断选项 C： 先求 $f(-1)$。令 $x=-1,y=-1$： $f(1)=(-1{)}^{2}f(-1)+(-1{)}^{2}f(-1)⟹f(1)=2f(-1)$ 由 $f(1)=0$ 得 $2f(-1)=0⟹f(-1)=0$。 再令 $y=-1$： $f(-x)=(-1{)}^{2}f(x)+x^{2}f(-1)=f(x)+0=f(x)$ 因为 $f(-x)=f(x)$ 对 $\mathbf{R}$ 恒成立，故 $f(x)$ 为偶函数。 故 C 正确。

判断选项 D： 当 $x,y\ne 0$ 时，原方程两边同除以 $x^2{y}^2$： $\frac{f(xy)}{x^2{y}^2}=\frac{f(x)}{x^2}+\frac{f(y)}{y^2}$ 令 $g(x)=\frac{f(x)}{x^2}$，则 $g(xy)=g(x)+g(y)$。 此为对数函数的特征方程。取特例 $g(x)=\ln |x|$，则： $f(x)=x^2\ln |x|(x\ne 0)$ 结合 $f(0)=0$，构造特例函数： $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\ln |x|,& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$

考察其在 $x>0$ 时的单调性。当 $x>0$ 时，$f(x)=x^2\ln x$。 求导： $f^{\prime }(x)=2x\ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}=x(2\ln x+1)$ 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x=e^{-\frac{1}{2}}$。 当 $x\in (0,e^{-\frac{1}{2}})$ 时， $f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减。 因为 $f(x)$ 为偶函数且 $f(0)=0$，函数在 $x=0$ 的左侧递增至 $0$，在 $x=0$ 的右侧从 $0$ 开始递减。 因此， $x=0$ 是该特例函数的局部极大值点，而非极小值点。 故 D 错误。

故选：ABC。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数的赋值法求值、奇偶性证明，以及通过构造特例判定极值。
2. 核心方法：通过齐次除法将方程转化为 $g(xy)=g(x)+g(y)$ 的形式，进而联想到对数函数模型。
3. 避坑指南：

• 证明奇偶性时，需先求出 $f(-1)$ 的值，不可跳过此步骤直接得出结论。
• 判定抽象函数的极值，直接推理较为困难且易错。利用特例法（构造满足条件的一个具体函数）是排除错误选项的最有效手段。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题以柯西函数方程为背景，考查函数的综合性质及建模能力。
2. 结论推广：掌握常见的抽象函数方程模型：

• $f(x+y)=f(x)+f(y)⟺f(x)=cx$
• $f(x+y)=f(x)f(y)⟺f(x)=c^x$
• $f(xy)=f(x)+f(y)⟺f(x)={\log }_{c}x$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 2008-重庆卷理-06
• 2013-上海卷理-12 填-函数奇偶性