2023-新高考I卷-13 填-计数

本题导读

本题考查分类加法计数原理，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）某学校提供 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课，学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课，并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有 __________ 种（用数字作答）．

🔍【思路分析】

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1. 依据选修课程的总门数，将问题分为“选修 2 门课”和“选修 3 门课”两类。
2. 对于“选修 2 门课”，根据每类至少 1 门的要求，只能是体育类和艺术类各 1 门。
3. 对于“选修 3 门课”，可细分为“1 门体育类 + 2 门艺术类”与“2 门体育类 + 1 门艺术类”两种情况。
4. 分别利用组合数公式计算各情况的方案数，最后求和。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

方法一：直接分类讨论法

第一类：学生选修 2 门课 要满足每类选修课至少选 1 门，则必须是 1 门体育课和 1 门艺术课。 从 4 门体育课中选 1 门，方案数为 ${\text{C}}_4^1=4$； 从 4 门艺术课中选 1 门，方案数为 ${\text{C}}_4^1=4$。 根据分步乘法计数原理，此情况的方案数为： $N_1={\text{C}}_4^1\times {\text{C}}_4^1=4\times 4=16$

第二类：学生选修 3 门课 要满足每类选修课至少选 1 门，分为以下两种子情况：

• 情况 A：1 门体育课 + 2 门艺术课 方案数为： ${\text{C}}_4^1\times {\text{C}}_4^2=4\times 6=24$
• 情况 B：2 门体育课 + 1 门艺术课 方案数为： ${\text{C}}_4^2\times {\text{C}}_4^1=6\times 4=24$

根据分类加法计数原理，选修 3 门课的总方案数为： $N_2=24+24=48$

综合结果： 总选课方案数为 $N_1+N_2=16+48=64$。

方法二：间接排除法

选修 2 门课的情况： 从 8 门课中任选 2 门的总数为 ${\text{C}}_8^2=28$。 不符合条件的情况为全是体育课（${\text{C}}_4^2=6$）或全是艺术课（${\text{C}}_4^2=6$）。 符合条件的方案数为：$28-6-6=16$。

选修 3 门课的情况： 从 8 门课中任选 3 门的总数为 ${\text{C}}_8^3=56$。 不符合条件的情况为全是体育课（${\text{C}}_4^3=4$）或全是艺术课（${\text{C}}_4^3=4$）。 符合条件的方案数为：$56-4-4=48$。

两者相加，总方案数为 $16+48=64$。

【答案】：64

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联用，组合数公式。
2. 核心方法：直接分类法、间接排除法（正难则反）。
3. 避坑指南：

• 区分分类与分步：分类的情况之间是互斥的，使用加法（如选 2 门与选 3 门，1体2艺与2体1艺）；分步的环节之间是相继的，使用乘法（如先选体育再选艺术）。切勿将乘法与加法混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中关于组合数与计数原理的基础应用，属于常见的抽样限制问题。
2. 结论推广：在处理包含“至少”、“至多”等约束条件的排列组合题时，当正面分类情况较多时，优先考虑利用全集扣除对立事件（间接排除法），能有效简化运算过程并降低遗漏风险。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷理-12
• 2008-江西卷文-11 单-古典概型计数
• 2008-福建卷理-07