2013-山东卷理-10 单-分类加法与分步乘法计数原理

本题导读

本题考查排列组合，以及分类加法与分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 用 $0,1,2,\dots ,9$ 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()

A. $243$　　　　　　B. $252$　　　　　　C. $261$　　　　　　D. $279$

🔍【思路分析】

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1. 理解“有重复数字”：这意味着三个数字中至少有两个数字是相同的。直接分类讨论（两个相同、三个相同）较为繁琐。
2. 确定间接法思路：
   • 总数：求出所有三位数的总个数。
   • 排除数：求出没有任何重复数字（即三个数字各不相同）的三位数个数。
   • 结果：有重复数字的个数 = 总数 - 没有任何重复数字的个数。
3. 分步计算：
   • 三位数首位不能为 0。
   • 注意数字选择时的限制条件。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算所有三位数的总个数。

• 百位：从 $1\dots 9$ 中选，有 $9$ 种取法。
• 十位：从 $0\dots 9$ 中选，有 $10$ 种取法。
• 个位：从 $0\dots 9$ 中选，有 $10$ 种取法。 总个数为：$9\times 10\times 10=900$ 个。

第二步：计算没有任何重复数字的三位数个数。

• 百位：不能为 0，从 $1\dots 9$ 中选，有 $9$ 种取法。
• 十位：不能与百位相同，但可以为 0，从余下的 $9$ 个数字中选，有 $9$ 种取法。
• 个位：不能与百位、十位相同，从余下的 $8$ 个数字中选，有 $8$ 种取法。 无重复数字个数为：$9\times 9\times 8=648$ 个。

第三步：计算有重复数字的个数。 $N=900-648=252\text{ 个}$

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分步乘法计数原理的应用。

核心方法：“正难则反”。当题目要求中出现“至少”、“含有重复”等字眼时，通常考虑对立面（全称否定）更容易求解。

避坑指南：- 首位不能为 0：三位数的第一位限制是计数题中最容易忽略的条件。 - 逻辑严密：在计算无重复数字时，十位的选择由于 0 的加入，数量依然维持在 9 个，不要习惯性地递减为 8 个。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相同元素的排列问题（如数字 1, 1, 2 的全排列）。

结论推广：对于 $n$ 位数，含有重复数字的个数计算逻辑一致，即 $9\times 10^{n-1}-9\times P_9^{n-1}$（当 $n\le 10$ 时）。

方法推广：间接法也常用于概率统计中“至少”型事件的计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-03 单-计数原理
• 2015-广东卷文-10 单-计数原理
• 2023-新高考I卷-13 填-计数