2023-新高考I卷-14 填-体积

本题导读

本题考查正四棱台的几何性质，以及棱台的体积公式。

📌【题干】

Question

（2023年新高考I卷）在正四棱台 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $AB=2$， $A_1{B}_1=1$， $A{A}_1=\sqrt{2}$，则该棱台的体积为 __________．

🔍【思路分析】

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1. 计算上下底面积 $S_1,S_2$。
2. 构造过侧棱与高所在的直角梯形截面，利用勾股定理求棱台高 $h$。
3. 代入棱台体积公式求解。

✅【答案】

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$\frac{7\sqrt{6}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

1. 求底面积 下底面正方形面积 $S_1=2^2=4$。 上底面正方形面积 $S_2=1^2=1$。

2. 求高 $h$ 设下底面中心为 $O$，上底面中心为 $O_1$。 下底面半对角线 $AO=\frac{1}{2}\times (2\sqrt{2})=\sqrt{2}$。 上底面半对角线 $A_1{O}_1=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

过 $A_1$ 作 $A_{1}M\perp AO$ 交于点 $M$，则 $A_{1}M=h$。 $AM=AO-A_1{O}_1=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 在 $\text{Rt}△A_{1}MA$ 中，已知 $A{A}_1=\sqrt{2}$，由勾股定理得： $h=\sqrt{A{A}_1^2-A{M}^2}=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 求体积 代入棱台体积公式 $V=\frac{1}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2}\right)h$： $V=\frac{1}{3}\times (4+1+\sqrt{4\times 1})\times \frac{\sqrt{6}}{2}$ $V=\frac{1}{3}\times 7\times \frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{7\sqrt{6}}{6}$

【答案】：$\frac{7\sqrt{6}}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四棱台的结构特征及棱台体积公式。
2. 核心方法：轴截面/对角面简化法（将空间问题转化为平面直角梯形计算高）。
3. 避坑指南：务必区分“侧棱”与“侧面斜高”。本题已知的是侧棱 $A{A}_1$，故必须取底面对角线的一半（外接圆半径）构造直角梯形；若已知侧面斜高，则需取底面边长的一半构造。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：源于立体几何基础台体体积的计算，考查空间几何体向平面几何的截面简化转化。
5. 结论推广：对于任意正 $n$ 棱台，均可利用“高、侧棱、上下底面外接圆半径”构造直角梯形求高。此外，也可将台体向上补全为完整正四棱锥，利用相似比 $1:2$ 求出大锥体积减去小锥体积，实现“锥台体积割补转化”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 1977-河北卷-06
• 1988-全国卷理-09 单-异面直线及其所成的角