2023-新高考II卷-09 多-圆锥

本题导读

本题考查圆锥的几何特征（体积与侧面积公式，以及二面角的平面角定义与性质。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）已知圆锥的顶点为 $P$，底面圆心为 $O$，$AB$ 为底面直径，$\angle APB=120^{\circ }$，$PA=2$，点 $C$ 在底面圆周上，且二面角 $P-AC-O$ 为 $45^{\circ }$，则（ ）

A. 该圆锥的体积为 $\pi$　　　　　　　　　　B. 该圆锥的侧面积为 $4\sqrt{3}\pi$

C. $AC=2\sqrt{2}$　　　　　　　　　　　　　　D. $△PAC$ 的面积为 $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 轴截面分析：在 $△PAB$ 中，利用等腰三角形和 $\angle APB=120^{\circ }$ 求出圆锥的高 $h$ 和底面半径 $r$。
2. 判定 A、B（度量计算）：代入圆锥的体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 和侧面积公式 $S=\pi rl$。
3. 找二面角（判定 C）：利用三垂线定理，取 $AC$ 中点 $D$，连接 $OD,PD$。证明 $\angle PDO$ 即为二面角 $P-AC-O$ 的平面角（$45^{\circ }$）。在 $Rt△PDO$ 中求出 $OD$，再在底面圆内求弦长 $AC$。
4. 三角形面积（判定 D）：在 $Rt△PDO$ 中求出 $PD$（即 $△PAC$ 在边 $AC$ 上的高），计算面积。

✅【答案】

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AC

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定圆锥的基本几何量 在轴截面 $△PAB$ 中，$PA=PB=2$，$\angle APB=120^{\circ }$。 过 $P$ 作 $PO\perp AB$ 于 $O$，则 $O$ 为底面圆心。 在 $Rt△POA$ 中，$\angle APO=60^{\circ }$：

• 高 $h=PO=PA\cdot \cos 60^{\circ }=2\times \frac{1}{2}=1$。

• 底面半径 $r=OA=PA\cdot \sin 60^{\circ }=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。

• 母线长 $l=PA=2$。

第二步：判定选项 A 和 B

• A 选项：体积 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\sqrt{3}{)}^2\cdot 1=\pi$。故 A 正确。
• B 选项：侧面积 $S_{\text{侧}}=\pi rl=\pi \cdot \sqrt{3}\cdot 2=2\sqrt{3}\pi$。故 B 错误。

第三步：判定选项 C（求 $AC$） 取 $AC$ 的中点 $D$，连接 $OD,PD,OA$。 因为 $OA=OC$，所以 $OD\perp AC$。 又 $PO\perp$ 底面，根据三垂线定理知 $PD\perp AC$。 所以 $\angle PDO$ 是二面角 $P-AC-O$ 的平面角，即 $\angle PDO=45^{\circ }$。 在 $Rt△PDO$ 中，$PO=1$，则 $OD=PO\cdot \cot 45^{\circ }=1$。 在底面 $Rt△ODA$ 中，$OA=r=\sqrt{3}$，$OD=1$： $AD=\sqrt{O{A}^2-O{D}^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2-1^2}=\sqrt{2}$。 则弦长 $AC=2AD=2\sqrt{2}$。故 C 正确。

第四步：判定选项 D（求 $△PAC$ 的面积） 在 $Rt△PDO$ 中，$PD=\frac{PO}{\sin 45^{\circ }}=\frac{1}{\sqrt{2}/2}=\sqrt{2}$。 $△PAC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot PD=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$。 显然 $2\ne \sqrt{3}$。故 D 错误。

综上所述，正确选项为 AC。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥体积与侧面积公式、三垂线定理、二面角的平面角判定。
2. 核心方法：截面转化法、等腰三角形三线合一法。
3. 避坑指南：计算侧面积时，务必使用母线长 $l$，忌误用高 $h$。计算 $△PAC$ 面积时，底边 $AC$ 对应的高为空间斜高 $PD$，切勿混淆为底面弦心距 $OD$ 或圆锥高 $PO$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查立体几何基本图形元素的数量关系，几何背景为旋转体截面及空间角的度量，属于高考常考的三垂线模型。
2. 结论推广：对于圆锥中的二面角问题，常通过底面弦的中点构造直角三角形体系。设圆锥高为 $h$，底面半径为 $r$，底面弦长为 $2m$，二面角大小为 $\theta$，则三者存在固定的几何约束：$h=\sqrt{r^2-m^2}\tan \theta$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-20 解-线面平行
• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 1985-全国卷理-13