2023-新高考II卷-11 多-导数极值

本题导读

本题考查导数与函数的极值，以及一元二次方程根的分布。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）若函数 $f(x)=a\ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}$ ($a\ne 0$) 既有极大值也有极小值，则（ ）

A. $bc>0$　　　B. $ab>0$　　　C. $b^2+8ac>0$　　　D. $ac<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定定义域与求导：首先明确 $\ln x$ 的定义域为 $(0,+\infty )$。对 $f(x)$ 求导，并将导函数化为分式形式，观察分子的结构。
2. 转化极值条件：函数 $f(x)$ 既有极大值也有极小值，意味着导函数 $f^{\prime }(x)$ 在定义域 $(0,+\infty )$ 内有两个不同的变号零点。
3. 建立二次方程模型：令 $f^{\prime }(x)$ 的分子为 $g(x)=a{x}^2-bx-2c$。问题转化为：二次方程 $a{x}^2-bx-2c=0$ 在 $(0,+\infty )$ 上有两个不相等的实数根。
4. 利用根的分布判别：

• 判别式 $\Delta >0$（保证有两个不等根）；
• 两根之积 $x_1{x}_2>0$（保证同号）；
• 两根之和 $x_1+x_2>0$（保证均为正）。

✅【答案】

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BCD

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求导并确定定义域 函数 $f(x)=a\ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}$ 的定义域为 $(0,+\infty )$。 对 $f(x)$ 求导： $f^{\prime }(x)=\frac{a}{x}-\frac{b}{x^2}-\frac{2c}{x^3}=\frac{a{x}^2-bx-2c}{x^3}$。

第二步：转化极值存在条件 因为 $x\in (0,+\infty )$，所以分母 $x^3>0$。 $f(x)$ 既有极大值也有极小值，说明 $f^{\prime }(x)$ 有两个不同的变号零点。 即方程 $a{x}^2-bx-2c=0$ 在 $(0,+\infty )$ 内有两个不相等的实数根 $x_1,x_2$。

第三步：利用一元二次方程根的分布规律 设 $g(x)=a{x}^2-bx-2c$。由于 $g(x)=0$ 有两个正根，需满足：

1. 判别式条件： $\Delta =(-b{)}^2-4(a)(-2c)=b^2+8ac>0$。 故 C 选项正确。
2. 两根之积条件（韦达定理）： $x_1{x}_2=\frac{-2c}{a}>0⟹\frac{c}{a}<0⟹ac<0$。 故 D 选项正确。
3. 两根之和条件（韦达定理）： $x_1+x_2=\frac{b}{a}>0⟹ab>0$。 故 B 选项正确。

第四步：判定 A 选项 由 $ab>0$ 可知 $a,b$ 同号； 由 $ac<0$ 可知 $a,c$ 异号。 由此推出 $b,c$ 必然异号，即 $bc<0$。 故 A 选项错误。

综上所述，正确选项为 BCD。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与极值的关系（变号零点）、一元二次方程在特定区间的根的分布（判别式、韦达定理）。
2. 核心方法：导数法、根的分布判定法。 根的分布模型：将导数零点问题转化为二次方程根的分布是高考导数压轴题的常用手段。
   • 两正根 $⟺\Delta >0,x_1+x_2>0,x_1{x}_2>0$。
   • 一正一负 $⟺x_1{x}_2<0$。
3. 避坑指南：求导通分后，常数项为 $-2c$ 而非 $c$。在运用韦达定理求两根之积时，应为 $\frac{-2c}{a}$，符号极易出错导致错判选项 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查导数的极值理论，本质是对含参二次函数零点分布（根的分布）的综合分析。
2. 结论推广：处理形如 $f(x)=a\ln x+P(x)$（$P(x)$ 为有理分式或多项式）的极值、单调性问题时，通用的破题路径是求导通分，将超越方程的零点问题转化为分子（通常为多项式，如二次函数）在定义区间上的根的分布问题，进而利用判别式、对称轴、端点函数值及韦达定理构建参数的不等式组。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-16 填-柯西不等式
• 1989-全国卷理-22 解-对数方程有解条件
• 1989-全国卷理-24 解-周期函数与根分布